Corrigé CCINP 2025 Sciences industrielles PSI — Partie I.3 (Q10 à Q12) : Motorisation : inertie équivalente et modèle du premier ordre

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Sciences industrielles PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Chaque moteur à courant continu obéit à $u_{m} (t) = R_{m} i_{m} (t) + k_{m} ω_{m} (t)$ et $C_{m} (t) = k_{m} i_{m} (t)$ , avec $u_{m} \leq 36 V$ , $R_{m} = 2Ω$ , $k_{m} = 0, 2 N \cdot m \cdot A^{- 1} = 0, 2 V \cdot s \cdot ra d^{- 1}$ ; les deux moteurs, identiques, tournent à la même vitesse $ω_{m}$ et reçoivent la même tension.

Un effort résistant $- F_{r} (t) x$ s'applique au pont (masse $M = 200 kg$ ) en son centre de gravité. Liaisons parfaites, roulement sans glissement des roues sur les rails, inertie des roues négligeable. $J_{m}$ : moment d'inertie d'un motoréducteur ramené sur l'axe du moteur ; réducteur $k = 1/24$ ; roues de rayon $r = 0, 2 m$ .

Q10. Établir l'équation du mouvement $2 C_{m} (t) - C_{r} (t) = J \frac{d ω _{m}}{d t}$ (système, théorème, expressions de $J$ et de $C_{r}$ ) ; on donne $J \approx 0, 016 kg \cdot m^{2}$ .
Q11. Avec $C_{r} = 0$ , montrer que $V (p) / U_{m} (p)$ est du premier ordre ; exprimer ses constantes caractéristiques.
Q12. En déduire l'accélération maximale $γ_{ma x}$ (valeur initiale) pour un échelon de $36 V$ ; application numérique ; montrer que le critère d'accélération n'est pas respecté.

Avec un échelon de $16 V$ , le critère d'accélération est vérifié mais pas le temps de déplacement de $4 m$ : une autre stratégie de commande s'impose.

Corrigé

Q10. Système isolé : $Σ = {$ pont $+$ 2 motoréducteurs $+$ roues $}$ , dans le référentiel galiléen du bâti. Théorème : théorème de l'énergie cinétique, $\frac{d E _{c} ( Σ/0 )}{d t} = P_{e x t} + P_{in t}$ .

Relations cinématiques. Roulement sans glissement : $V = r ω_{r m}$ ; réducteur : $ω_{r m} = k ω_{m}$ . Donc $V = k r ω_{m}$ .

Énergie cinétique. Le pont (moteurs et réducteurs compris dans sa masse $M$ ) est en translation à la vitesse $V$ ; chaque rotor de motoréducteur tourne à $ω_{m}$ par rapport au pont avec l'inertie $J_{m}$ (réducteur ramené compris) ; les roues ont une inertie négligeable :

$E_{c} (Σ/0) = \frac{1}{2} M V^{2} + 2 \times \frac{1}{2} J_{m} ω_{m}^{2} = \frac{1}{2} (2 J_{m} + M k^{2} r^{2}) ω_{m}^{2} .$

Puissances extérieures. Effort résistant : $- F_{r} V = - k r F_{r} ω_{m}$ ; poids : nulle (déplacement horizontal) ; actions des rails : nulles (roulement sans glissement, la vitesse du point de contact est nulle). Puissances intérieures. Les liaisons sont parfaites ; chaque moteur exerce le couple $C_{m}$ entre son stator, lié au pont, et son rotor, qui tourne à $ω_{m}$ par rapport au pont : $P_{in t} = 2 C_{m} ω_{m}$ .

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