Corrigé CCINP 2025 Sciences industrielles PSI — Partie III.1 (Q18 à Q21) : Pont et charge pendulaire : équations du mouvement et fonctions de transfert

Les moteurs sont désormais commandés en courant (asservissement de courant, consigne $i(t)$). Une charge ponctuelle de masse $m=50\mathrm{kg}$ est suspendue au pont par un câble rigide de masse négligeable. Cahier des charges complété : $D=4\mathrm{m}$ en $T=6\mathrm{s}$ au plus ; accélération maximale $1,7\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$ ; angle du câble avec la verticale dans $\pm 6^{\circ }$ ; temps de stabilisation de la charge inférieur à $2\mathrm{s}$ (compté à partir de l'instant où le pont atteint $4\mathrm{m}$, jusqu'à ce que l'angle reste sous $1^{\circ }$ en valeur absolue).

Notations (figure 9) : $(B,\overrightarrow{x},\overrightarrow{y},\overrightarrow{z})$ lié au bâti $0$ galiléen ; $(B_1,{\overrightarrow{x}}_1,{\overrightarrow{y}}_1,{\overrightarrow{z}}_1)$ lié au pont $1$ (masse $M=200\mathrm{kg}$) ; $\overrightarrow{B{B}_1}=x(t)\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{V}(B_1,1/0)=V(t)\overrightarrow{x}$, $\overrightarrow{a}(B_1,1/0)=\gamma (t)\overrightarrow{x}$ ; $(B_2,{\overrightarrow{x}}_c,{\overrightarrow{y}}_c,{\overrightarrow{z}}_c)$ lié à l'ensemble $c=\{$câble $+$ charge$\}$, $\overrightarrow{B_2{B}_1}=\ell {\overrightarrow{z}}_1$ ; $\theta =({\overrightarrow{x}}_1,{\overrightarrow{x}}_c)=({\overrightarrow{z}}_1,{\overrightarrow{z}}_c)$ ; $\overrightarrow{B_c{B}_2}=L{\overrightarrow{z}}_c$ avec $L=2\mathrm{m}$, la masse $m$ étant concentrée en $B_c$. Efforts sur le pont : traction $F(t)\overrightarrow{x}$ de la motorisation et frottement $-F_r(t)\overrightarrow{x}$ ; frottement visqueux de coefficient $f_c$ dans la pivot entre $1$ et $c$ ; $\overrightarrow{g}=-g\overrightarrow{z}$, $g=10\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$.

Figure 9 — Modèle cinématique du pont et de la charge.

Q18. Calculer $\overrightarrow{V}(B_c,c/0)$, puis $\overrightarrow{a}(B_c,c/0)$.
Q19. Indiquer les équations du principe fondamental de la dynamique donnant les deux équations du mouvement en $x(t)$ et $\theta (t)$ : solides isolés, bilans des actions extérieures, équations utilisées (sans développer).
Q20. Développer, et montrer qu'en linéarisant autour de $\theta =0$, $\dot{\theta }=0$, avec $f_v=\frac{f_c}{mL}$ :

$$(M+m)\ddot{x}-Lm\ddot{\theta }=F(t)-F_r(t)(5)L\ddot{\theta }-\ddot{x}+g\theta +f_v\dot{\theta }=0(6).$$

On pose $F(t)=Ki(t)$ avec $K=50\mathrm{N}\cdot {\mathrm{A}}^{-1}$, et l'on néglige d'abord $F_r$.

Q21. Déterminer $H_x(p)=\frac{X(p)}{I(p)}$ et $H_{\theta }(p)=\frac{\Theta (p)}{I(p)}$.