Corrigé CCINP 2025 Sciences industrielles PSI — Partie III.4 (Q27 à Q32) : Asservissement de vitesse, correcteur PI et filtre réjecteur

Sujet officiel du concours CCINP, session 2025, épreuve Sciences industrielles PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour tenir tous les critères, on asservit la vitesse du pont ; la consigne de vitesse est un trapèze qui respecte la distance et le temps imposés. Le retour est unitaire ; le correcteur est un proportionnel intégral $C (p) = \frac{K _{p} ( 1 + T _{i} p )}{T _{i} p}$ ; $H_{x} (p)$ est la fonction de transfert de Q21.

Figure 13 — Diagrammes de Bode de $p H_{x} (p)$ .

Q27. Exprimer la FTBO en gardant $p H_{x} (p)$ ; justifier que la boucle fermée reste stable quels que soient $T_{i}$ et $K_{p}$ .
Q28. Proposer une forme de $p H_{x} (p)$ d'après la figure 13 (sans valeurs des constantes) ; donner la valeur de son gain $K_{x}$ .
Q29. Déterminer l'erreur statique pour un échelon et l'erreur de traînage pour une rampe.
Q30. Avec $T_{i} = 10 s$ , déterminer $K_{p}$ pour une pulsation de coupure à $0 dB$ de la FTBO égale à $100 rad \cdot s^{- 1}$ .

Figure 14 — Réponses temporelles pour une consigne en trapèze de vitesse : critères partiellement respectés.

On place juste après la consigne un filtre réjecteur $F (p) = \frac{1 + 2 \frac{ξ _{1}}{ω _{0}} p + \frac{p ^{2}}{ω _{0}^{2}}}{1 + 2 \frac{ξ _{2}}{ω _{0}} p + \frac{p ^{2}}{ω _{0}^{2}}}$ avec $ξ_{1} = 0, 2$ , $ξ_{2} = 1$ , $ω_{0} = 3, 5 rad \cdot s^{- 1}$ .

Q31. Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques et l'allure des diagrammes réels du filtre ; calculer le gain réel en $ω_{0}$ . Données :

$x$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$lo g x$	0	0,3	0,48	0,6	0,7	0,78	0,85	0,9	0,95
$20 lo g x$	0	6	9,5	12	14	15,6	16,9	18	19

Q32. Justifier l'intérêt de ce filtre sur la consigne, le choix de $ω_{0}$ (en s'appuyant sur la figure 10) et celui de $ξ_{1} / ξ_{2} < 1$ .

Corrigé

Q27. Le retour est unitaire ; la FTBO est le produit des blocs de la chaîne directe :

$FTBO (p) = C (p) \cdot p H_{x} (p) = K_{p} \frac{1 + T _{i} p}{T _{i} p} \cdot p H_{x} (p) .$

Stabilité. La FTBO n'a pas de pôle à partie réelle strictement positive (deux pôles nuls ; les autres pôles de $p H_{x}$ sont stables) : le critère du revers s'applique dans le plan de Bode. Pour tout $ω > 0$ :

la phase du correcteur PI vaut $- 9 0^{\circ} + arctan (T_{i} ω)$ , comprise strictement entre $- 9 0^{\circ}$ et $0^{\circ}$ ;
la phase de $p H_{x}$ reste comprise entre $- 9 0^{\circ}$ et environ $- 5 2^{\circ}$ (figure 13).

La phase de la FTBO reste donc strictement supérieure à $- 18 0^{\circ}$ à toute pulsation : elle ne coupe jamais $- 18 0^{\circ}$ , la marge de gain est infinie et la marge de phase est strictement positive quelle que soit la pulsation de coupure, donc quels que soient $K_{p} > 0$ et $T_{i} > 0$ . La boucle fermée est stable pour tout réglage (le réglage reste à choisir pour la rapidité et l'amortissement). Ce que le correcteur attend : un argument de stabilité (revers, phase), pas un argument de précision.

Q28. Lecture de la figure 13 :

à basse et à haute pulsation, la pente est de $- 20 dB$ par décade et la phase vaut $- 9 0^{\circ}$ : un intégrateur ;
vers $3 rad \cdot s^{- 1}$ , le gain présente un creux (antirésonance) puis, vers $3, 5$ à $4 rad \cdot s^{- 1}$ , une bosse (résonance), et la phase une remontée passagère jusqu'à environ $- 5 2^{\circ}$ : un second ordre au numérateur faiblement amorti, suivi d'un second ordre au dénominateur de pulsation propre un peu plus grande ; la remontée de phase confirme que le zéro précède le pôle.

D'où la forme, cohérente avec Q21 :

$p H_{x} (p) = \frac{K _{x}}{p} \cdot \frac{1 + \frac{2 ξ _{n}}{ω _{n}} p + \frac{p ^{2}}{ω _{n}^{2}}}{1 + \frac{2 ξ _{d}}{ω _{d}} p + \frac{p ^{2}}{ω _{d}^{2}}}, ω_{n} < ω_{d} .$

Gain $K_{x}$ . L'asymptote basse pulsation est $20 lo g K_{x} - 20 lo g ω$ ; elle passe par $38 dB$ en $ω = 1 0^{- 2} rad \cdot s^{- 1}$ , donc vaut environ $- 2 dB$ en $ω = 1 rad \cdot s^{- 1}$ (elle coupe $0 dB$ vers $0, 8 rad \cdot s^{- 1}$ ) :

$K_{x} \approx 1 0^{- 2/20} \approx 0, 8 m \cdot s^{- 2} \cdot A^{- 1} .$

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