Corrigé CCINP 2025 Sciences industrielles PSI — Parties III.2 et III.3 (Q22 à Q26) : Commande directe, puis commande en boucle ouverte par sortie plate

Q22. Position. $H_x(p)$ est de classe $2$ (Q21) : pour un échelon de courant, $X(p)=H_x(p)i_0/p$ contient un triple intégrateur et, une fois le régime transitoire éteint, $x(t)\approx \frac{K{i}_0}{M+m}\frac{t^2}{2}$ (le quotient de seconds ordres a un gain statique $1$, et son terme en $p$ s'annule car les deux polynômes ont le même coefficient $f_v/g$) : une parabole, celle d'un mouvement uniformément accéléré par la force constante $K{i}_0=200\mathrm{N}$ appliquée à la masse totale. On attend $x(10\mathrm{s})\approx 0,4\times 100=40\mathrm{m}$ ; on lit environ $38\mathrm{m}$ : cohérent, à la lecture près.

Angle. $H_{\theta }(p)$ est un second ordre de classe $0$, faiblement amorti (frottement visqueux faible dans la pivot) : la réponse indicielle présente des oscillations pseudo-périodiques amorties autour d'une valeur finale, avec un premier dépassement important (environ $57\%$ ici). Physiquement, le pont accélère et la charge « reste en arrière » : elle oscille autour d'une position inclinée où la composante horizontale de la tension du câble lui donne la même accélération que le pont.

Valeur asymptotique. On lit ${\theta }_{\infty }\approx 4,4^{\circ }$. La théorie (théorème de la valeur finale) donne

$${\theta }_{\infty }=\underset{p\to 0}{\lim }p{H}_{\theta }(p)\frac{i_0}{p}=\frac{K{i}_0}{(M+m)g}=\frac{50\times 4}{250\times 10}=0,08\mathrm{rad}\approx 4,6^{\circ },$$

cohérent avec la lecture (écart de quelques pour cent). On retrouve ce résultat sans calcul : en régime établi, $\tan {\theta }_{\infty }=\gamma /g$ avec $\gamma =K{i}_0/(M+m)=0,8\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-2}$.

Remarque. La pseudo-période lue est d'environ $1,8\mathrm{s}$ (maxima vers $0,9$, $2,7$ et $4,5\mathrm{s}$), soit une pulsation d'environ $3,5\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ ; avec $L=2\mathrm{m}$, Q21 donne ${\omega }_{\theta }=2,5\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$ (période $2,5\mathrm{s}$). La simulation semble avoir été faite avec un câble plus court ($L\approx 1\mathrm{m}$) ; cela ne change pas l'angle asymptotique, indépendant de $L$. C'est la valeur lue, $3,5\mathrm{rad}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$, que retiendra le filtre de Q32.

Q23. Allure de la commande. La position croît d'abord comme une parabole (accélération), puis linéairement entre $1$ et $5\mathrm{s}$ (vitesse constante, environ $0,95\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$), puis s'arrête vers $6\mathrm{s}$ ; sans frottement, une vitesse constante correspond à un effort, donc à un courant, nul. La commande est donc un créneau positif, un palier nul, puis un créneau négatif symétrique (« bang--coast--bang »). L'impulsion vérifie $\frac{K}{M+m}{i}_1{t}_1\approx 1\mathrm{m}\cdot {\mathrm{s}}^{-1}$, soit $i_1{t}_1\approx 5\mathrm{A}\cdot \mathrm{s}$, par exemple $i_1\approx 5\mathrm{A}$ pendant $t_1\approx 1\mathrm{s}$ (pour $i_1=5\mathrm{A}$, l'angle d'équilibre de Q22 vaut $K{i}_1/((M+m)g)=0,1\mathrm{rad}\approx 5,7^{\circ }$ et le premier dépassement de $57\%$ donne un pic voisin de $1,57\times 5,7^{\circ }\approx 9^{\circ }$ vers $0,9\mathrm{s}$, proche des $8,7^{\circ }$ lus).