Corrigé CCINP 2026 Maths PC — Exercice 1 — Partie I (Q1 à Q8) : La matrice par blocs (A A ; A A) : similitude avec diag(O, 2A), spectre, diagonalisabilité

Q1. Ici $A={}^{t}A$, donc ${}^{t}M=\left(\begin{array}{cc}{}^{t}A& {}^{t}A\\ {}^{t}A& {}^{t}A\end{array}\right)=M$ : la matrice $M$ est symétrique réelle. D'après la version matricielle du théorème spectral, elle est diagonalisable (et même dans une base orthonormée : $M=\Omega \Delta {}^t\Omega$ avec $\Omega$ orthogonale et $\Delta$ diagonale réelle).

Ce que le correcteur attend : l'argument porte sur $M$, non sur $A$ ; il suffit de remarquer la symétrie, aucun calcul n'est nécessaire.

Q2. Explicitement,

$$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 2& 0& 2\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 2& 0& 2\end{array}\right).$$

Pour calculer ${\chi }_M(\lambda )=\det (\lambda I_4-M)$, on effectue d'abord des opérations élémentaires. Par $C_3\leftarrow C_3+C_1$ puis $C_4\leftarrow C_4+C_2$ (le déterminant ne change pas), puis $L_1\leftarrow L_1-L_3$ et $L_2\leftarrow L_2-L_4$ :

$$\begin{array}{rl}{\chi }_M(\lambda )& =\det \left(\begin{array}{cccc}\lambda -1& 0& -1& 0\\ 0& \lambda -2& 0& -2\\ -1& 0& \lambda -1& 0\\ 0& -2& 0& \lambda -2\end{array}\right)=\det \left(\begin{array}{cccc}\lambda -1& 0& \lambda -2& 0\\ 0& \lambda -2& 0& \lambda -4\\ -1& 0& \lambda -2& 0\\ 0& -2& 0& \lambda -4\end{array}\right)\\ & =\det \left(\begin{array}{cccc}\lambda & 0& 0& 0\\ 0& \lambda & 0& 0\\ -1& 0& \lambda -2& 0\\ 0& -2& 0& \lambda -4\end{array}\right).\end{array}$$

La dernière matrice est triangulaire inférieure, d'où ${\chi }_M(\lambda )={\lambda }^2(\lambda -2)(\lambda -4)$. Les valeurs propres de $M$ sont donc $0$ (double), $2$ et $4$ : $\mathrm{Sp}(M)=\{0,2,4\}$.

On contrôle avec Q6 (résultat général) : ${\lambda }^2{2}^2{\chi }_A(\lambda /2)=4{\lambda }^2(\frac{\lambda }{2}-1)(\frac{\lambda }{2}-2)={\lambda }^2(\lambda -2)(\lambda -4)$.

Q3. $M$ est symétrique (Q1). Pour $X={}^t(x_1,x_2,x_3,x_4)\in {\mathbb{R}}^4$, on a $MX={}^t(x_1+x_3,2(x_2+x_4),x_1+x_3,2(x_2+x_4))$, donc

$${}^{t}XMX=(x_1+x_3)(x_1+x_3)+2(x_2+x_4)(x_2+x_4)=(x_1+x_3{)}^2+2(x_2+x_4{)}^2\ge 0.$$