Corrigé CCINP 2026 Maths PC — Exercice 1 — Partie II (Q9 à Q12) : La matrice par blocs (A A ; O A) : polynômes de M, diagonalisable si et seulement si A = O

Mêmes notations ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$). Dans cette partie, $M=\left(\begin{array}{cc}A& A\\ O_n& A\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{2n}(\mathbb{R})$.

Q9. Montrer que $M^k=\left(\begin{array}{cc}{A}^k& k{A}^k\\ O_n& A^k\end{array}\right)$ pour tout $k\in \mathbb{N}$.
Q10. En déduire que $Q(M)=\left(\begin{array}{cc}Q(A)& A{Q}^{\prime }(A)\\ O_n& Q(A)\end{array}\right)$ pour tout $Q\in \mathbb{R}[X]$.

On suppose désormais $M$ diagonalisable et on note $S\in \mathbb{R}[X]$ un polynôme annulateur de $M$ scindé à racines simples sur $\mathbb{R}$.
Q11. Établir que $S^{\prime }(A)$ est diagonalisable et exprimer son spectre en fonction de celui de $A$ et de $S^{\prime }$.
Q12. Montrer que $S^{\prime }(A)$ est inversible. En déduire une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour que $M$ soit diagonalisable.