Corrigé CCINP 2026 Maths PC — Exercice 2 — Partie I (Q13 à Q17) : Somme de variables géométriques indépendantes : fonction génératrice et loi de Pascal

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Maths PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On fixe $p \in] 0, 1 [$ , $q = 1 - p$ , et une suite $(X_{k})_{k \in N^{*}}$ de variables aléatoires indépendantes de loi géométrique $G (p)$ . Pour $n \in N^{*}$ : $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}$ et $V_{n} = max (X_{1}, \dots, X_{n})$ . Pour $Y$ à valeurs dans $N$ , $G_{Y} (t) = E (t^{Y}) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} P (Y = k) t^{k}$ .

Q13. Déterminer les valeurs prises par $S_{n}$ .
Q14. Rappeler $E (X_{1})$ et $V (X_{1})$ ; en déduire $E (S_{n})$ et $V (S_{n})$ .
Q15. Montrer que la série entière $\sum P (Y = k) t^{k}$ a un rayon de convergence supérieur ou égal à $1$ .
Q16. Pour $t \in] - 1, 1 [$ , exprimer $G_{S_{n}} (t)$ à l'aide des $G_{X_{k}} (t)$ , puis montrer que $G_{S_{n}} (t) = (\frac{pt}{1 - q t})^{n}$ .
Q17. Développer $t \mapsto (pt)^{n} (1 - q t)^{- n}$ en série entière sur $] - 1, 1 [$ ; en déduire $P (S_{n} = k)$ pour tout $k \in S_{n} (Ω)$ .

Corrigé

Rappel : $X \sim G (p)$ signifie $X (Ω) = N^{*}$ et $P (X = k) = p q^{k - 1}$ pour $k \in N^{*}$ .

Q13. Chaque $X_{k}$ prend ses valeurs dans $N^{*}$ , donc $S_{n}$ , somme de $n$ entiers supérieurs ou égaux à $1$ , prend ses valeurs dans $[[n, + \infty [[$ . Réciproquement, soit $k \geq n$ . L'événement $(X_{1} = k - n + 1) \cap (X_{2} = 1) \cap \dots \cap (X_{n} = 1)$ est inclus dans $(S_{n} = k)$ et, par indépendance des $X_{i}$ , il a pour probabilité

$p q^{k - n} \cdot p^{n - 1} = p^{n} q^{k - n} > 0.$

Donc chaque entier $k \geq n$ est effectivement pris : $S_{n} (Ω) = [[n, + \infty [[$ .

Ce que le correcteur attend : la valeur minimale est $n$ (et non $0$ ou $1$ ), et il faut justifier que toutes les valeurs à partir de $n$ sont atteintes.

Q14. Pour la loi géométrique de paramètre $p$ : $E (X_{1}) = \frac{1}{p}$ et $V (X_{1}) = \frac{q}{p ^{2}}$ . Les $X_{k}$ ont toutes la loi de $X_{1}$ . Par linéarité de l'espérance,

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →