Corrigé CCINP 2026 Maths PC — Exercice 2 — Partie II (Q18 à Q21) : Maximum de variables géométriques indépendantes : fonction de répartition, espérance, loi

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Maths PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Mêmes notations : $X_{1}, X_{2}, \dots$ indépendantes de loi $G (p)$ , $q = 1 - p$ , $V_{n} = max (X_{1}, \dots, X_{n})$ pour $n \in N^{*}$ .

Q18. Montrer que $P (X_{1} > k) = q^{k}$ pour tout $k \in N^{*}$ .
Q19. En déduire que $P (V_{n} \leq k) = (1 - q^{k})^{n}$ pour tout $k \in N^{*}$ .
Q20. Montrer que $V_{n}$ est d'espérance finie et que $E (V_{n}) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} (1 - (1 - q^{k})^{n})$ .
Q21. Déterminer la loi de $V_{n}$ , en commençant par relier, pour $k \in N^{*}$ , les événements $(V_{n} = k)$ , $(V_{n} \leq k)$ et $(V_{n} \leq k - 1)$ .

Corrigé

Q18. Soit $k \in N^{*}$ . Comme $X_{1} (Ω) = N^{*}$ , l'événement $(X_{1} > k)$ est la réunion disjointe des événements $(X_{1} = j)$ pour $j \geq k + 1$ . Par $σ$ -additivité de $P$ , puis somme d'une série géométrique de raison $q \in] 0, 1 [$ :

$P (X_{1} > k) = j = k + 1 \sum + \infty P (X_{1} = j) = j = k + 1 \sum + \infty p q^{j - 1} = p q^{k} i = 0 \sum + \infty q^{i} = \frac{p q ^{k}}{1 - q} = q^{k},$

puisque $1 - q = p$ . (La formule vaut aussi pour $k = 0$ : $P (X_{1} > 0) = 1 = q^{0}$ .)

Q19. Soit $k \in N^{*}$ . Le maximum de $n$ nombres est inférieur ou égal à $k$ si et seulement si chacun l'est :

$(V_{n} \leq k) = i = 1 ⋂ n (X_{i} \leq k) .$

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