Corrigé CCINP 2026 Maths PC — Exercice 2 — Partie III (Q22 à Q25) : Équivalent de l'espérance du maximum par comparaison série-intégrale : E(V_n) ~ ln n / ln(1/q)

Q22. Dérivée. On a $q^x={\mathrm{e}}^{x\ln q}$ avec $\ln q<0$. La fonction ${\phi }_n$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,+\infty [$ et, pour $x\ge 0$,

$${\phi }_n^{\prime }(x)=-n(1-q^x{)}^{n-1}\cdot (-q^x\ln q)=n{q}^x\ln (q)(1-q^x{)}^{n-1}\le 0,$$

car $q^x>0$, $\ln q<0$ et $1-q^x\in [0,1[$ (pour $n=1$, le facteur $(1-q^x{)}^0$ vaut $1$). Donc ${\phi }_n$ est décroissante sur $[0,+\infty [$.

Intégrabilité. ${\phi }_n$ est continue et positive sur $[0,+\infty [$ (car $(1-q^x{)}^n\in [0,1]$). Pour $y\in [0,1]$, $1-(1-y{)}^n=y{\sum }_{i=0}^{n-1}(1-y{)}^i\le ny$, d'où

$$\forall x\ge 0,0\le {\phi }_n(x)\le n{q}^x=n{\mathrm{e}}^{x\ln q}.$$

La fonction $x\mapsto {\mathrm{e}}^{x\ln q}$ est intégrable sur $[0,+\infty [$ (exponentielle de taux $\ln q<0$), donc par les règles de comparaison pour les fonctions positives, ${\phi }_n$ est intégrable sur $[0,+\infty [$. (On a plus précisément ${\phi }_n(x)\sim n{q}^x$ quand $x\to +\infty$, puisque $1-(1-y{)}^n\sim ny$ quand $y\to 0$.)