Corrigé CCINP 2026 Maths PC — Exercice 3 — Partie I (Q26 à Q29) : L'équation f'(x) = f(λx) : structure et cas λ = 1, 0, −1

On fixe $\lambda \in [-1,1]$ et l'on cherche les fonctions dérivables $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ telles que

$$(E_{\lambda })\forall x\in \mathbb{R},f^{\prime }(x)=f(\lambda x).$$

On note $S_{\lambda }$ l'ensemble de ces fonctions, et $\mathcal{D}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ l'espace vectoriel des fonctions dérivables de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

Q26. Montrer que $S_{\lambda }$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{D}(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Q27. Déterminer $S_1$.
Q28. Montrer qu'une solution de $(E_0)$ est affine ; en déduire $S_0$.
Q29. Montrer qu'une solution $f$ de $(E_{-1})$ est deux fois dérivable et vérifie $f^{\prime \prime }+f=0$ ; en déduire $S_{-1}$.