Corrigé CCINP 2026 Maths PC — Exercice 3 — Partie II (Q30 à Q33) : Solutions développables en série entière de f'(x) = f(λx)

Même équation $(E_{\lambda })$ : $f^{\prime }(x)=f(\lambda x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$, d'ensemble de solutions $S_{\lambda }$. On suppose ici $\lambda \in [-1,1]$ et $\lambda \ne 0$.

Q30. Déterminer le rayon de convergence de la série entière ${\sum }_{n\ge 0}{\lambda }^{\frac{n(n-1)}{2}}\frac{x^n}{n!}$.

On note $\phi$ sa somme sur $\mathbb{R}$.
Q31. Montrer que $\phi \in S_{\lambda }$.

Soit $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite réelle telle que $\sum a_n{x}^n$ ait un rayon infini, et $f$ sa somme sur $\mathbb{R}$.
Q32. Montrer que si $f$ est solution de $(E_{\lambda })$, alors $(n+1)a_{n+1}={\lambda }^n{a}_n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
Q33. En déduire que $f$ est solution de $(E_{\lambda })$ si et seulement si $f\in \mathrm{Vect}(\phi )$.