Corrigé CCINP 2026 Maths PC — Exercice 3 — Partie III (Q34 à Q37) : Toute solution de f'(x) = f(λx) est développable en série entière : Taylor et convergence uniforme

Q34. Pour $n\in \mathbb{N}$, soit $\mathcal{P}(n)$ : « $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^n$ sur $\mathbb{R}$ et $\forall t\in \mathbb{R}$, $f^{(n)}(t)={\lambda }^{\frac{n(n-1)}{2}}f({\lambda }^{n}t)$ ».

Initialisation ($n=0$). $f$ est dérivable, donc continue : elle est de classe ${\mathcal{C}}^0$, et ${\lambda }^{0}f({\lambda }^{0}t)=f(t)=f^{(0)}(t)$.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ pour un $n\in \mathbb{N}$. La fonction $t\mapsto f({\lambda }^{n}t)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (composée de $f$, dérivable, et d'une fonction linéaire), de dérivée

$$t\mapsto {\lambda }^n{f}^{\prime }({\lambda }^{n}t)={\lambda }^{n}f(\lambda \cdot {\lambda }^{n}t)={\lambda }^{n}f({\lambda }^{n+1}t),$$

par $(E_{\lambda })$ appliquée au point ${\lambda }^{n}t$. Cette dérivée est continue, puisque $f$ l'est. Donc $f^{(n)}={\lambda }^{\frac{n(n-1)}{2}}f({\lambda }^n\cdot )$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, ce qui signifie que $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{n+1}$, et