Corrigé CCINP 2026 Maths PSI — Exercice 1 (Q1 à Q7) : Un jeu de pile ou face : loi géométrique, loi binomiale conditionnelle et série entière

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Préliminaires. On pose $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ sur $] - 1, 1 [$ .

Q1. Montrer que $f$ est de classe $C^{k}$ sur $] - 1, 1 [$ pour tout $k \in N$ , avec $f^{(k)} (x) = \frac{k !}{( 1 - x ) ^{k + 1}}$ .
Q2. Établir que pour tout $k \in N$ et tout $x \in] - 1, 1 [$ , $n = k \sum + \infty \frac{n !}{( n - k )!} x^{n - k} = \frac{k !}{( 1 - x ) ^{k + 1}}$ .

Le jeu. Soit $p \in] 0, 1 [$ la probabilité de Pile d'une pièce ; les lancers sont indépendants. Le joueur 1 lance la pièce jusqu'au premier Pile (on admet que cela arrive presque sûrement) ; le joueur 2 effectue ensuite autant de lancers que le joueur 1 et compte ses Pile. On note $X$ le nombre de lancers du joueur 1 et $Y$ le nombre de Pile du joueur 2.

Q3. Préciser la loi de $X$ .
Q4. Pour $n \in N^{*}$ et $k \in N$ , calculer $P (Y = k ∣ X = n)$ .
Q5. Exprimer $P (Y = k)$ à l'aide des $P (Y = k ∣ X = n)$ et des $P (X = n)$ , $n \in N^{*}$ .
Q6. Établir que $P (Y = 0) = \frac{1 - p}{2 - p}$ .
Q7. Établir que pour tout $k \in N^{*}$ , $P (Y = k) = \frac{( 1 - p ) ^{k - 1}}{( 2 - p ) ^{k + 1}}$ .

Corrigé

Q1. La fonction $f$ est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas sur $] - 1, 1 [$ : elle y est de classe $C^{\infty}$ , donc de classe $C^{k}$ pour tout $k \in N$ . Montrons par récurrence sur $k$ la propriété

$H (k) : \forall x \in] - 1, 1 [, f^{(k)} (x) = k! (1 - x)^{- (k + 1)} .$

Initialisation. $f^{(0)} (x) = f (x) = (1 - x)^{- 1} = 0! (1 - x)^{- 1}$ : $H (0)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $H (k)$ pour un $k \in N$ . La dérivée de $x \mapsto (1 - x)^{- (k + 1)}$ est, par dérivation d'une composée, $x \mapsto - (k + 1) (1 - x)^{- (k + 2)} \times (- 1) = (k + 1) (1 - x)^{- (k + 2)}$ . Donc

$f^{(k + 1)} (x) = (f^{(k)})^{'} (x) = k! (k + 1) (1 - x)^{- (k + 2)} = \frac{( k + 1 )!}{( 1 - x ) ^{k + 2}},$

c'est $H (k + 1)$ . Par récurrence, $H (k)$ est vraie pour tout $k \in N$ .

Q2. La série géométrique $\sum x^{n}$ est une série entière de rayon de convergence $R = 1$ , et pour tout $x \in] - 1, 1 [$ , $f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{n}$ . D'après le théorème de régularité et dérivation terme à terme des séries entières, la somme est de classe $C^{\infty}$ sur l'intervalle ouvert de convergence $] - 1, 1 [$ et, pour tout $k \in N$ , sa dérivée $k$ -ième s'obtient en dérivant $k$ fois terme à terme (la série dérivée a le même rayon $1$ ) :

$\forall x \in] - 1, 1 [, f^{(k)} (x) = n = k \sum + \infty n (n - 1) \dots (n - k + 1) x^{n - k} = n = k \sum + \infty \frac{n !}{( n - k )!} x^{n - k},$

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