Corrigé CCINP 2026 Maths PSI — Exercice 2 (existence) (Q8 à Q14) : Fonction Gamma : définition, classe C2 et log-convexité par Cauchy-Schwarz

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On veut montrer (théorème de Bohr--Mollerup) que $Γ : x \mapsto \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t$ est la seule fonction $f : R_{+}^{*} \to R_{+}^{*}$ vérifiant le système $(S)$ : $f (x + 1) = x f (x)$ pour tout $x > 0$ , $f (1) = 1$ , et $ln \circ f$ convexe. On admet le Lemme 1 : si $g$ est convexe sur un intervalle $I$ et $a \in I$ , la pente $y \mapsto \frac{g ( y ) - g ( a )}{y - a}$ est croissante sur $I ∖ {a}$ .

Q8. Montrer que $Γ$ est définie sur $R_{+}^{*}$ et que $Γ (x) > 0$ .
Q9. Montrer que $Γ (x + 1) = x Γ (x)$ pour tout $x > 0$ .

Pour Q10 à Q12, $0 < a < 1 < b$ et $φ (t) = t^{a - 1}$ si $t \in] 0, 1]$ , $φ (t) = t^{b - 1} e^{- t}$ si $t > 1$ .

Q10. Établir que $t^{x - 1} e^{- t} \leq φ (t)$ pour tout $(x, t) \in [a, b] \times R_{+}^{*}$ .
Q11. Pour $k \in {0, 1, 2}$ , on pose $ψ_{k} (t) = ∣ ln t ∣^{k} φ (t)$ . Montrer que $ψ_{k}$ est intégrable sur $R_{+}^{*}$ .
Q12. En déduire que $Γ$ est de classe $C^{2}$ sur $R_{+}^{*}$ ; exprimer $Γ^{'}$ et $Γ^{''}$ sous forme intégrale.
Q13. Pour $0 < α < β$ , montrer que $⟨ u, v ⟩ = \int_{α}^{β} u (t) v (t) d t$ est un produit scalaire sur $C^{0} ([α, β])$ .
Q14. À l'aide de Q13 et de l'inégalité de Cauchy--Schwarz, montrer que $(Γ^{'} (x))^{2} \leq Γ (x) Γ^{''} (x)$ pour tout $x > 0$ ; en déduire que $ln \circ Γ$ est convexe et que $Γ$ vérifie $(S)$ .

Corrigé

Pour $x > 0$ , on note $h_{x} (t) = t^{x - 1} e^{- t} = e^{(x - 1) l n t} e^{- t}$ , fonction continue et strictement positive sur $] 0, + \infty [$ .

Q8. Soit $x > 0$ . L'intégrale est doublement impropre ; on étudie l'intégrabilité de la fonction continue positive $h_{x}$ sur $] 0, 1]$ puis sur $[1, + \infty [$ .

En $0^{+}$ . $h_{x} (t) \sim t^{x - 1} = \frac{1}{t ^{1 - x}}$ car $e^{- t} \to 1$ . L'intégrale de Riemann $\int_{0}^{1} \frac{d t}{t ^{1 - x}}$ converge car $1 - x < 1$ . Par la règle de comparaison des fonctions positives (équivalence), $h_{x}$ est intégrable sur $] 0, 1]$ .

En $+ \infty$ . $t^{2} h_{x} (t) = t^{x + 1} e^{- t} \to 0$ par croissances comparées, donc $h_{x} (t) = o (\frac{1}{t ^{2}})$ ; comme $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{2}}$ converge (Riemann, $2 > 1$ ), $h_{x}$ est intégrable sur $[1, + \infty [$ .

Ainsi $h_{x}$ est intégrable sur $] 0, + \infty [$ et $Γ (x)$ est bien défini pour tout $x \in R_{+}^{*}$ .

Stricte positivité. Comme $h_{x} \geq 0$ , $Γ (x) \geq \int_{1}^{2} h_{x} (t) d t$ . Sur le segment $[1, 2]$ , $h_{x}$ est continue, positive et non identiquement nulle, donc son intégrale est strictement positive. D'où $Γ (x) > 0$ .

Ce que le correcteur attend : la continuité de l'intégrande, l'étude séparée des deux bornes, et pour $Γ (x) > 0$ l'argument « continue, positive, non nulle » (la seule positivité de l'intégrale ne donne que $Γ (x) \geq 0$ ).

Q9. Soit $x > 0$ . On pose $u (t) = t^{x}$ et $v (t) = - e^{- t}$ , de classe $C^{1}$ sur $] 0, + \infty [$ , avec $u^{'} (t) = x t^{x - 1}$ et $v^{'} (t) = e^{- t}$ . Le produit $u (t) v (t) = - t^{x} e^{- t}$ admet des limites finies aux deux bornes :

$t \to 0^{+} lim - t^{x} e^{- t} = 0 (car x > 0), t \to + \infty lim - t^{x} e^{- t} = 0 (croissances compar e ˊ es) .$

Les intégrales $\int_{0}^{+ \infty} u v^{'} = Γ (x + 1)$ et $\int_{0}^{+ \infty} u^{'} v = - x Γ (x)$ convergent (Q8). Par le théorème d'intégration par parties sur un intervalle quelconque,

$Γ (x + 1) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x} e^{- t} d t = [- t^{x} e^{- t}]_{0}^{+ \infty} + \int_{0}^{+ \infty} x t^{x - 1} e^{- t} d t = 0 + x Γ (x) .$

Q10. Soit $t > 0$ fixé ; la fonction $x \mapsto t^{x - 1} = e^{(x - 1) l n t}$ est monotone, de sens donné par le signe de $ln t$ (qui dépend de $t$ , non de $x$ ).

Si $t \in] 0, 1]$ : $ln t \leq 0$ , donc $x \mapsto t^{x - 1}$ est décroissante ; pour $x \geq a$ , $t^{x - 1} \leq t^{a - 1}$ . Comme $0 < e^{- t} \leq 1$ , $t^{x - 1} e^{- t} \leq t^{a - 1} = φ (t)$ .
Si $t > 1$ : $ln t > 0$ , donc $x \mapsto t^{x - 1}$ est croissante ; pour $x \leq b$ , $t^{x - 1} \leq t^{b - 1}$ , d'où $t^{x - 1} e^{- t} \leq t^{b - 1} e^{- t} = φ (t)$ .

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