Corrigé CCINP 2026 Maths PSI — Exercice 2 (unicité) (Q15 à Q20) : Théorème de Bohr-Mollerup : unicité et formule de Gauss

On suppose que $f:{\mathbb{R}}_{+}^{\ast }\to {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ vérifie $(S)$ : $f(x+1)=xf(x)$ pour tout $x>0$, $f(1)=1$ et $\ln \circ f$ convexe. On pose $g=\ln \circ f$ sur ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$. Le Lemme 1 (croissance de la pente d'une fonction convexe autour d'un point $a$) est admis.

Q15. Montrer que $f(x+n)=x(x+1)\cdots (x+n-1)f(x)$ pour $x>0$, $n\in \mathbb{N}$ ; en déduire $f(n+1)$ et $g(n+1)$.
Q16. Montrer que $g(x+n+1)=g(x)+\ln (x(x+1)\cdots (x+n))$ pour $x>0$, $n\in \mathbb{N}$.
Q17. À l'aide du Lemme 1, justifier que pour $x\in ]0,1]$ et $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ : $g(n+1)-g(n)\le \frac{g(x+n+1)-g(n+1)}{x}\le g(n+2)-g(n+1)$.
Q18. En déduire que pour tout $x\in ]0,1]$, $f(x)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^{x}n!}{x(x+1)\cdots (x+n)}$   (1).
Q19. Déduire de Q14 et Q18 que $f(x)=\Gamma (x)$ pour tout $x\in ]0,1]$.
Q20. À l'aide de Q15, conclure que $f=\Gamma$.