Corrigé CCINP 2026 Maths PSI — Problème, Partie I (Q21 à Q28) : Deux exemples sur K2[X] : sous-espaces stables et blocs de taille 1 ou 2

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$K = R$ ou $C$ , $E$ est un $K$ -espace vectoriel de dimension $n \geq 1$ . On note $D$ l'ensemble des $u \in L (E)$ pour lesquels il existe $(p, q) \in N^{2}$ avec $p + 2 q = n$ et des sous-espaces stables par $u$ , $D_{1}, \dots, D_{p}$ de dimension $1$ et $P_{1}, \dots, P_{q}$ de dimension $2$ , tels que $E = ⨁_{i} D_{i} \oplus ⨁_{j} P_{j}$ ; de façon équivalente (admis), $u$ a dans une base convenable une matrice diagonale par blocs, $p$ blocs de taille $1$ suivis de $q$ blocs de taille $2$ .

Dans cette partie, $E = K_{2} [X]$ , $u (P) = X^{2} P^{''} + P^{'}$ et $v (P) = P^{'}$ .

Q21. Écrire la matrice de $u$ dans la base canonique. Est-elle diagonalisable ?
Q22. Déterminer $Ker u^{2}$ et justifier qu'il est stable par $u$ .
Q23. Donner une base $B$ dans laquelle $u$ a pour matrice $(200000010)$ ; conclure que $u \in D$ .
Q24. Donner la matrice de $v$ dans la base canonique.
Q25. Déterminer les sous-espaces de dimension $1$ stables par $v$ .
Q26. Montrer que $K_{1} [X]$ est le seul sous-espace de dimension $2$ stable par $v$ .
Q27. En déduire que $v \in / D$ .
Q28. $D$ est-il un sous-espace vectoriel de $L (E)$ ?

Corrigé

On note $C = (1, X, X^{2})$ la base canonique de $E = K_{2} [X]$ ; $u$ et $v$ sont linéaires (linéarité de la dérivation) et envoient $K_{2} [X]$ dans lui-même (si $de g P \leq 2$ , $X^{2} P^{''}$ et $P^{'}$ sont de degré $\leq 2$ ).

Q21. On calcule les images des vecteurs de base :

$u (1) = 0, u (X) = 0 + 1 = 1, u (X^{2}) = X^{2} \cdot 2 + 2 X = 2 X + 2 X^{2} .$

Les colonnes de la matrice sont les coordonnées de ces images :

$A = Mat_{C} (u) = 000100022 .$

$A$ est triangulaire supérieure : $χ_{A} = X^{2} (X - 2)$ , donc $Sp (u) = {0, 2}$ , la valeur propre $0$ étant de multiplicité algébrique $2$ . Pour $P = a + b X + c X^{2}$ , $u (P) = (b) + (2 c) X + (2 c) X^{2}$ , donc $u (P) = 0 ⟺ b = c = 0$ : $E_{0} (u) = Ker u = K_{0} [X] = Vect (1)$ , de dimension $1 \neq = 2$ . Par le critère de diagonalisabilité (dimension de chaque sous-espace propre égale à la multiplicité), $A$ n'est pas diagonalisable (ni sur $R$ , ni sur $C$ ).

Ce que le correcteur attend : un argument juste. « $χ_{A}$ n'est pas scindé à racines simples » ne prouve pas la non-diagonalisabilité, pas plus que « $A$ n'est pas inversible ».

Q22. On a $u^{2} (1) = u (0) = 0$ , $u^{2} (X) = u (1) = 0$ et

$u^{2} (X^{2}) = u (2 X + 2 X^{2}) = 2 u (X) + 2 u (X^{2}) = 2 + 4 X + 4 X^{2} .$

Pour $P = a + b X + c X^{2}$ , $u^{2} (P) = c (2 + 4 X + 4 X^{2})$ , nul si et seulement si $c = 0$ . Donc

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