Corrigé CCINP 2026 Maths PSI — Problème, Partie II (Q29 à Q36) : Endomorphismes nilpotents de la classe D : de carré nul et réduction par blocs J

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Maths PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$E$ est un $K$ -espace vectoriel de dimension $n \geq 1$ et $D$ l'ensemble de la partie I (décomposition de $E$ en somme directe de $p$ droites et $q$ plans stables, $p + 2 q = n$ ). $N$ est l'ensemble des endomorphismes nilpotents de $E$ ; l'indice de nilpotence de $u \in N$ est le plus petit $k \in N^{*}$ tel que $u^{k} = 0$ . On pose $N_{2} = {u \in L (E) : u^{2} = 0}$ et $J = (0010)$ . Ici $u \in N$ , d'indice $k$ et de rang $r$ .

Q29. Que dire de $u$ si $dim E = 1$ ?
Q30. ( $dim E = 2$ , $u \neq = 0$ .) Si $u^{k - 1} (x) \neq = 0$ , justifier que $(u^{k - 1} (x), \dots, u (x), x)$ est libre.
Q31. En déduire que $k = 2$ , puis que $u \in N_{2}$ .
Q32. ( $dim E = n$ .) Montrer que $D \cap N \subset N_{2}$ .

Soit désormais $u \in N_{2}$ .

Q33. Justifier que $Im u \subset Ker u$ et $r \leq n - r$ .
Q34. Soit $(e_{1}, \dots, e_{r})$ une base de $Im u$ complétée en une base $(e_{1}, \dots, e_{n - r})$ de $Ker u$ , et $f_{1}, \dots, f_{r}$ tels que $u (f_{i}) = e_{i}$ . Montrer que $(e_{1}, \dots, e_{n - r}, f_{1}, \dots, f_{r})$ est une base de $E$ .
Q35. Montrer qu'il existe une base où la matrice de $u$ est diagonale par blocs : $0_{n - 2 r}$ puis $r$ blocs égaux à $J$ .
Q36. En déduire que $N_{2} = D \cap N$ .

Corrigé

Q29. Si $dim E = 1$ , soit $e$ une base de $E$ ; $u (e) = λ e$ pour un $λ \in K$ , donc $u = λ Id_{E}$ par linéarité. Alors $u^{k} = λ^{k} Id_{E} = 0$ impose $λ^{k} = 0$ , soit $λ = 0$ . Donc $u = 0$ (et $k = 1$ ) : en dimension $1$ , le seul endomorphisme nilpotent est l'endomorphisme nul.

Q30. Comme $u \neq = 0$ , $u^{1} \neq = 0$ , donc $k \geq 2$ ; par minimalité de $k$ , $u^{k - 1} \neq = 0$ , ce qui assure l'existence de $x$ avec $u^{k - 1} (x) \neq = 0$ . Soient $λ_{0}, \dots, λ_{k - 1} \in K$ tels que

$i = 0 \sum k - 1 λ_{i} u^{i} (x) = 0.$

Supposons les $λ_{i}$ non tous nuls et notons $i_{0}$ le plus petit indice tel que $λ_{i_{0}} \neq = 0$ . Appliquons $u^{k - 1 - i_{0}}$ (qui est linéaire) : pour $i > i_{0}$ , $u^{k - 1 - i_{0}} (u^{i} (x)) = u^{k - 1 + (i - i_{0})} (x) = 0$ puisque $k - 1 + (i - i_{0}) \geq k$ . Il reste $λ_{i_{0}} u^{k - 1} (x) = 0$ , et comme $u^{k - 1} (x) \neq = 0$ , $λ_{i_{0}} = 0$ : contradiction. Tous les $λ_{i}$ sont nuls : la famille $(u^{k - 1} (x), \dots, u (x), x)$ est libre.

Q31. La famille libre de Q30 compte $k$ vecteurs de $E$ , de dimension $2$ : $k \leq 2$ . On a vu $k \geq 2$ car $u \neq = 0$ . Donc $k = 2$ , c'est-à-dire $u^{2} = 0$ : $u \in N_{2}$ .

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