Corrigé CCINP 2026 Maths PSI — Problème, Partie III (Q37 à Q43) : Polynôme annulateur à racines simples ou doubles : décomposition en noyaux

On utilise constamment que $Q\mapsto Q(u)$ est un morphisme d'algèbres : $(QR)(u)=Q(u)\circ R(u)$, et deux polynômes en $u$ commutent. En particulier, le noyau d'un polynôme en $u$ est stable par tout polynôme en $u$. On note $K_i=\mathrm{Ker}(u-{\alpha }_i{\mathrm{Id}}_E)$ et $L_j=\mathrm{Ker}(u-{\beta }_j{\mathrm{Id}}_E{)}^2$.

Q37. Bonne définition et linéarité. Si $A,B\in {\mathbb{K}}_1[X]$, $(X-a{)}^{2}A+(X-b{)}^{2}B$ est de degré $\le 3$ : $\phi$ est à valeurs dans ${\mathbb{K}}_3[X]$. Pour $\lambda \in \mathbb{K}$ et $(A,B),(A^{\prime },B^{\prime })\in {\mathbb{K}}_1[X{]}^2$,

$$\phi (\lambda (A,B)+(A^{\prime },B^{\prime }))=(X-a{)}^2(\lambda A+A^{\prime })+(X-b{)}^2(\lambda B+B^{\prime })=\lambda \phi (A,B)+\phi (A^{\prime },B^{\prime }):$$

$\phi$ est linéaire (il s'agit d'une application linéaire sur l'espace produit, non d'une application bilinéaire).

Injectivité. Soit $(A,B)$ tel que $(X-a{)}^{2}A+(X-b{)}^{2}B=0$. En évaluant en $a$ : $(a-b{)}^{2}B(a)=0$, donc $B(a)=0$ car $a\ne b$. En dérivant la relation,

$$2(X-a)A+(X-a{)}^2{A}^{\prime }+2(X-b)B+(X-b{)}^2{B}^{\prime }=0,$$

puis en évaluant en $a$ : $2(a-b)B(a)+(a-b{)}^2{B}^{\prime }(a)=0$, d'où $B^{\prime }(a)=0$. Comme $\mathrm{deg}B\le 1$, la formule de Taylor donne $B=B(a)+B^{\prime }(a)(X-a)=0$. Il reste $(X-a{)}^{2}A=0$, donc $A=0$ ($\mathbb{K}[X]$ est intègre). $\mathrm{Ker}\phi =\{(0,0)\}$.

Conclusion. $\dim {\mathbb{K}}_1[X{]}^2=2+2=4=\dim {\mathbb{K}}_3[X]$. Une application linéaire injective entre deux espaces de même dimension finie est bijective : $\phi$ est un isomorphisme. En particulier $\phi$ est surjective et le polynôme constant $1\in {\mathbb{K}}_3[X]$ a un antécédent $(A,B)\in {\mathbb{K}}_1[X{]}^2$ :

$$(X-a{)}^{2}A+(X-b{)}^{2}B=1.$$

Ce que le correcteur attend : l'argument de dimension (égalité des dimensions) qui transforme l'injectivité en bijectivité.

Q38. Soient $a\ne b$ et $(A,B)$ donné par Q37. En évaluant l'identité de Q37 en $u$ (morphisme d'algèbres) :

$$(u-a{\mathrm{Id}}_E{)}^2\circ A(u)+(u-b{\mathrm{Id}}_E{)}^2\circ B(u)={\mathrm{Id}}_E.$$

Soit $x\in \mathrm{Ker}(u-a{\mathrm{Id}}_E{)}^2\cap \mathrm{Ker}(u-b{\mathrm{Id}}_E{)}^2$. Les polynômes en $u$ commutant,

$$x=A(u)((u-a{\mathrm{Id}}_E{)}^2(x))+B(u)((u-b{\mathrm{Id}}_E{)}^2(x))=A(u)(0)+B(u)(0)=0.$$

L'intersection est réduite à $\{0\}$.

Ce que le correcteur attend : $(u-a{\mathrm{Id}}_E{)}^2(x)=0$ n'entraîne pas $u(x)=ax$ ; c'est l'identité de Bézout de Q37 qui fait le travail.