Corrigé CCINP 2026 Sciences industrielles MP — Partie I (Q1 à Q9) : Cinématique du robot Bering : consignes de vitesse des roues

Bering est un robot de marquage au sol : deux roues arrière motrices (roue 2 à droite, roue 3 à gauche, chacune entraînée par son propre servomoteur asservi en vitesse), une ou deux roues folles à l'avant, une buse de peinture centrée au point $P$.

Paramétrage (Figure 4) : ${\mathcal{R}}_0=(O,{\overrightarrow{x}}_0,{\overrightarrow{y}}_0,{\overrightarrow{z}}_0)$ lié au sol, galiléen ; ${\mathcal{R}}_1=(P,{\overrightarrow{x}}_1,{\overrightarrow{y}}_1,{\overrightarrow{z}}_0)$ lié au châssis 1, avec ${\overrightarrow{z}}_1={\overrightarrow{z}}_0$, $\overrightarrow{OP}=R{\overrightarrow{y}}_1$ ($R$ rayon du virage, $O$ son centre), $\overrightarrow{P{C}_g}=a{\overrightarrow{y}}_1$, $\overrightarrow{P{C}_d}=-a{\overrightarrow{y}}_1$ ($a$ demi-voie), ${\overrightarrow{V}}_{P\in 1/0}=V{\overrightarrow{x}}_1$, ${\overrightarrow{\Omega }}_{1/0}={\omega }_{10}{\overrightarrow{z}}_0={\dot{\theta }}_{10}{\overrightarrow{z}}_0$ avec ${\theta }_{10}=({\overrightarrow{x}}_0,{\overrightarrow{x}}_1)$. Les roues 2 et 3 sont en pivot d'axe $(P,{\overrightarrow{y}}_1)$ avec le châssis, d'angles ${\theta }_{21}=({\overrightarrow{x}}_1,{\overrightarrow{x}}_2)$, ${\theta }_{31}=({\overrightarrow{x}}_1,{\overrightarrow{x}}_3)$, de vitesses ${\omega }_{21}={\dot{\theta }}_{21}$, ${\omega }_{31}={\dot{\theta }}_{31}$. Contacts avec le sol en $I_d$ et $I_g$ : $\overrightarrow{I_d{C}_d}=\overrightarrow{I_g{C}_g}=r{\overrightarrow{z}}_1$ ($r$ rayon des roues). Les roues 2 et 3 roulent sans glisser sur le sol en $I_d$ et $I_g$. Notation : $\{{\mathcal{V}}_{1/0}\}={\left\{\begin{array}{c}{\omega }_{10}{\overrightarrow{z}}_0\\ V{\overrightarrow{x}}_1\end{array}\right\}}_P$.

{ Figure 4 — Paramétrage du Bering : vue de dessus (virage de centre $O$) et vue de côté de la roue droite 2.}

Q1. Donner les torseurs cinématiques $\{{\mathcal{V}}_{2/1}\}$ en $C_d$ et $\{{\mathcal{V}}_{3/1}\}$ en $C_g$.
Q2. Exprimer ${\overrightarrow{V}}_{I_d\in 2/0}$ en fonction de ${\omega }_{10}$, ${\omega }_{21}$, $V$, $a$, $r$.
Q3. Justifier la valeur de ${\overrightarrow{V}}_{I_d\in 2/0}$ ; en déduire ${\omega }_{21}=(V+a{\omega }_{10})/r$.
Q4. Exprimer de même ${\omega }_{31}$.
Q5. Mouvement du robot en ligne droite ; forme de $\{{\mathcal{V}}_{1/0}\}$.
Q6. Consignes ${\omega }_{21}$ et ${\omega }_{31}$ en ligne droite.
Q7. Trajectoire en arc de cercle (centre $O$, rayon $R$) : relation entre $V$ et ${\omega }_{10}$.
Q8. En déduire ${\omega }_{21}$ et ${\omega }_{31}$ en fonction de $V$, $R$, $r$ et $a$.
Q9. Rotation sur place autour de $P$ : ${\omega }_{21}$, ${\omega }_{31}$ en fonction de ${\omega }_{10}$, et le rapport ${\omega }_{21}/{\omega }_{31}$.