Corrigé CCINP 2026 Sciences industrielles MP — Partie II (Q10 à Q20) : Basculement en virage : inertie, torseur dynamique, PFD

Sujet officiel du concours CCINP, session 2026, épreuve Sciences industrielles MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Exigence 1.1.1 : pas de basculement dans un virage de rayon $0, 5 m$ pris à $1, 5 m \cdot s^{- 1}$ .

Modèle inertiel (Figure 5).

Seules comptent les inerties des stators M1, M2 (cylindres homogènes d'axe $(P, y_{1})$ , diamètre $d_{M}$ , hauteur $h_{M}$ , masse $m_{M}$ ), du châssis C (pavé $a_{C} \times b_{C} \times c_{C}$ , masse $m_{C}$ , posé sur les stators, ses faces latérales dans le plan des sections extrêmes des stators) et du réservoir R (pavé $a_{R} \times b_{R} \times c_{R}$ , masse $m_{R}$ , posé sur le châssis), tous symétriques par rapport au plan $(P, x_{1}, z_{1})$ . On note $P G = x_{G} x_{1} + y_{G} y_{1} + z_{G} z_{1}$ . Donnée (cylindre homogène d'axe $(G_{cy l}, z)$ , rayon $R$ , hauteur $h$ , masse $m$ ) :

$I (G_{cy l}, cylindre) = m (\frac{R ^{2}}{4} + \frac{h ^{2}}{12}) 00 0 m (\frac{R ^{2}}{4} + \frac{h ^{2}}{12}) 0 00 m \frac{R ^{2}}{2}_{(x, y, z)}$

{ Figure 5 — Modèle géométrique et inertiel du robot.}

Modèle dynamique.

Robot assimilé au châssis 1 (masse $m_{1}$ ), $ω_{10}$ et $R$ constants, paramétrage de la Figure 4 ( $P$ à la hauteur des axes de roues). Une roue folle (Figure 6) : $C_{d} C_{g} = 2 a y_{1}$ , $I_{d} I_{a} = a y_{1} + b x_{1}$ , $g = - g z_{1}$ ; actions du sol : glisseurs $X_{i} x_{1} + Y_{i} y_{1} + Z_{i} z_{1}$ en $I_{d}$ (roue 2), $I_{g}$ (roue 3), $I_{a}$ (roue 4). Données (dont les efforts normaux issus du PFD, avec $∣ V ∣ = R ∣ ω_{10} ∣$ ) :

$I (G, 1) = A 0 - E 0 B 0 - E 0 C_{(x_{1}, y_{1}, z_{1})}$

$Z_{2} = \frac{- m _{1} ω _{10}^{2} ( z _{G} + r ) ( x _{G} a + R b ) + a m _{1} g ( b - x _{G} ) - a E ω _{10}^{2}}{2 ab}$

$Z_{3} = \frac{- m _{1} ω _{10}^{2} ( z _{G} + r ) ( x _{G} a - R b ) + a m _{1} g ( b - x _{G} ) - a E ω _{10}^{2}}{2 ab}$

$Z_{4} = \frac{E ω _{10}^{2} + x _{G} m _{1} g + m _{1} ω _{10}^{2} x _{G} ( z _{G} + r )}{b}$

Deux roues folles (Figure 7, photographie) : roues folles 4 et 5 de même voie que les roues arrière, contacts $I_{a}$ et $I_{b}$ ; au basculement, deux roues décollent ensemble.

{ Figure 6 — Contacts au sol avec une roue folle (vue de dessus).}

{ Figure 8 — Vitesse maximale avant basculement dans un virage de rayon $0, 5 m$ .}

Q10. Pourquoi $y_{G} = 0$ ?
Q11. Calculer $x_{G}$ et $z_{G}$ .
Q12. Matrice d'inertie de M1 en $G_{M 1}$ dans $B_{1}$ .
Q13. Exprimer $G G_{M 1}$ .
Q14. En déduire l'inertie de M1 autour de $(G, x_{1})$ .
Q15. Résultante dynamique $R_{d} (1/0)$ dans $B_{1}$ .
Q16. Moment dynamique $δ (G, 1/0)$ dans $B_{1}$ .
Q17. Théorème de la résultante dynamique (une roue folle) : trois équations.
Q18. Quelle roue décolle à la vitesse limite, et quel $Z_{i}$ l'annonce ?
Q19. Deux roues folles : effet de $R$ et de $a$ sur $V_{ma x}$ .
Q20. Valeurs de $z_{G}$ évitant le basculement (une ou deux roues folles).

Corrigé

Q10. Chacun des quatre solides pris en compte est symétrique par rapport au plan $(P, x_{1}, z_{1})$ : le châssis et le réservoir individuellement, et les deux stators M1 et M2 l'un de l'autre (mêmes dimensions, même masse, positions symétriques). Le centre d'inertie d'un ensemble possédant un plan de symétrie matérielle appartient à ce plan, donc $G \in (P, x_{1}, z_{1})$ et $y_{G} = 0$ .

Q11. Coordonnées des centres d'inertie dans $(P, x_{1}, y_{1}, z_{1})$ , lues sur la figure 5 ( $P$ est au centre des stators ; le châssis repose sur les stators, dont le rayon est $d_{M} /2$ ; les bords arrière du châssis et du réservoir sont à l'aplomb de $P$ ) :

Solide	masse	$x$	$z$
stators M1, M2	$m_{M}$ chacun	$0$	$0$
châssis C	$m_{C}$	$a_{C} /2$	$d_{M} /2 + c_{C} /2$
réservoir R	$m_{R}$	$a_{R} /2$	$d_{M} /2 + c_{C} + c_{R} /2$

Avec $m_{1} = 2 m_{M} + m_{C} + m_{R}$ (seules masses du modèle), la définition du barycentre donne :

$x_{G} = \frac{m _{C} \frac{a _{C}}{2} + m _{R} \frac{a _{R}}{2}}{2 m _{M} + m _{C} + m _{R}}, z_{G} = \frac{m _{C} ( \frac{d _{M}}{2} + \frac{c _{C}}{2} ) + m _{R} ( \frac{d _{M}}{2} + c _{C} + \frac{c _{R}}{2} )}{2 m _{M} + m _{C} + m _{R}} .$

Q12. Le stator M1 est un cylindre d'axe $(G_{M 1}, y_{1})$ , de rayon $d_{M} /2$ : on applique la matrice donnée en remplaçant $z$ par $y_{1}$ (l'axe de révolution porte le terme $m R^{2} /2$ ), avec $R^{2} = d_{M}^{2} /4$ :

$I (G_{M 1}, M1) = m_{M} (\frac{d _{M}^{2}}{16} + \frac{h _{M}^{2}}{12}) 00 0 m_{M} \frac{d _{M}^{2}}{8} 0 00 m_{M} (\frac{d _{M}^{2}}{16} + \frac{h _{M}^{2}}{12})_{B_{1}} .$

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