Corrigé Centrale 2025 Maths 1 MP — Partie A — I (Q1 à Q6) : Produits de nombres premiers, coefficients binomiaux, formule de Legendre

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 1 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations : $⌊ x ⌋$ est la partie entière de $x$ ; pour $p$ premier et $n \in N^{*}$ , $v_{p} (n)$ est la valuation $p$ -adique de $n$ (le plus grand $k$ tel que $p^{k} ∣ n$ ) ; pour $x \geq 1$ , $π (x)$ est le nombre de nombres premiers $p \leq x$ . Dans tous les produits indexés par $p$ , la lettre $p$ décrit les nombres premiers. Le but de la partie A est l'encadrement $\frac{l n 2}{6} \frac{x}{l n x} \leq π (x) \leq 4 \frac{x}{l n x}$ pour $x \geq 3$ .

Q1. Pour $n \in N^{*}$ : $\prod_{n + 2 \leq p \leq 2 n + 1} p \leq (n 2 n + 1) \leq 4^{n}$ .
Q2. Pour $n \in N^{*}$ : $\prod_{p \leq n} p < 4^{n}$ (récurrence, selon la parité de $n$ ).
Q3. En déduire $\prod_{p \leq x} p < 4^{x}$ pour tout réel $x \geq 1$ .
Q4. Pour $n \in N^{*}$ : $\frac{4 ^{n}}{2 n} \leq (n 2 n) < 4^{n}$ .
Q5. Pour $p$ premier et $n \in N$ : $v_{p} (n!) = \sum_{k = 1}^{+ \infty} ⌊ n / p^{k} ⌋$ .
Q6. Pour $n \in N^{*}$ , $k \in N$ , $p$ premier : si $p^{k}$ divise $(n 2 n)$ , alors $p^{k} \leq 2 n$ .

Corrigé

Q1. Notons $C = (n 2 n + 1) = \frac{( 2 n + 1 )!}{n ! ( n + 1 )!}$ , entier naturel non nul, et écrivons la relation entière $C \cdot n! (n + 1)! = (2 n + 1)!$ .

Minoration. Soit $p$ premier avec $n + 2 \leq p \leq 2 n + 1$ . D'une part $p$ est l'un des facteurs de $(2 n + 1)! = 1 \times 2 \times \dots \times (2 n + 1)$ , donc $p$ divise $C \cdot n! (n + 1)!$ . D'autre part $n! (n + 1)!$ est un produit d'entiers compris entre $1$ et $n + 1 < p$ , dont aucun n'est divisible par $p$ ; par le lemme d'Euclide ( $p$ premier divisant un produit divise l'un des facteurs), $p$ ne divise pas $n! (n + 1)!$ , donc $p \land (n! (n + 1)!) = 1$ . Le lemme de Gauss donne alors $p ∣ C$ .

Les nombres premiers de l'intervalle $[n + 2, 2 n + 1]$ sont deux à deux distincts, donc deux à deux premiers entre eux, et divisent tous $C$ : leur produit divise $C$ (récurrence sur le nombre de facteurs : si $m ∣ C$ , $p ∣ C$ et $p \land m = 1$ , alors $C = m c$ et $p ∣ m c$ donne $p ∣ c$ par Gauss, d'où $p m ∣ C$ ). Un diviseur positif d'un entier $C \geq 1$ lui est inférieur, d'où $\prod_{n + 2 \leq p \leq 2 n + 1} p \leq C$ ; s'il n'y a aucun tel nombre premier, le produit est vide, vaut $1$ , et l'inégalité reste vraie.

Majoration. Par la formule du binôme, $\sum_{k = 0}^{2 n + 1} (k 2 n + 1) = (1 + 1)^{2 n + 1} = 2^{2 n + 1}$ . Les termes $k = n$ et $k = n + 1$ sont distincts et égaux à $C$ (symétrie $(k m) = (m - k m)$ ), les autres sont positifs : $2 C \leq 2^{2 n + 1}$ , soit $C \leq 2^{2 n} = 4^{n}$ .

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