Corrigé Centrale 2025 Maths 1 MP — Partie A — II et III (Q7 à Q13) : Encadrement de Tchebychev de la fonction de comptage des nombres premiers

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 1 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Mêmes notations que dans la partie A, I : $π (x)$ est le nombre de nombres premiers $\leq x$ (pour $x \geq 1$ ), et les produits indexés par $p$ portent sur les nombres premiers. On dispose de Q2 ( $\prod_{p \leq n} p < 4^{n}$ ), Q4 ( $(n 2 n) \geq \frac{4 ^{n}}{2 n}$ ) et Q6 (si $p^{k}$ divise $(n 2 n)$ , alors $p^{k} \leq 2 n$ ).

Q7. Pour $n \in N^{*}$ : $\prod_{p \leq n} p \geq \prod_{n < p \leq n} p$ .
Q8. En déduire $n^{(π (n) - π (n)) /2} < 4^{n}$ .
Q9. Pour $n \geq 2$ : $π (n) \leq n < \frac{n}{l n n}$ , puis $π (n) \leq 4 \frac{n}{l n n}$ (le sujet imprime $4 \frac{l n n}{n}$ , coquille signalée par le jury).
Q10. Pour $x \geq 3$ , à l'aide de la croissance de $t \mapsto \frac{t}{l n t}$ sur $[e, + \infty [$ : $π (x) \leq 4 \frac{x}{l n x}$ .
Q11. Pour $n \in N^{*}$ : $(n 2 n) \leq (2 n)^{π (2 n)}$ .
Q12. Vérifier $\frac{2 n l n 2}{l n ( 2 n )} - 1 \geq \frac{n l n 2}{l n ( 2 n )}$ , puis en déduire $π (2 n) \geq n \frac{l n 2}{l n ( 2 n )}$ .
Q13. Pour $x \geq 3$ : $π (x) \geq \frac{l n 2}{6} \frac{x}{l n x}$ (poser $n = ⌊ x /2 ⌋$ ).

Corrigé

Q7. Les nombres premiers de $] n, n]$ forment une partie de l'ensemble des nombres premiers de $[1, n]$ , et le produit sur cet ensemble s'écrit $\prod_{p \leq n} p = \prod_{p \leq n} p \cdot \prod_{n < p \leq n} p$ . Tout nombre premier vérifie $p \geq 2 \geq 1$ , donc $\prod_{p \leq n} p \geq 1$ (produit éventuellement vide, égal à $1$ ) ; le second facteur étant positif, on obtient l'inégalité.

Ce que le correcteur attend : la mention $p \geq 1$ ; sans elle, rajouter des facteurs pourrait faire diminuer le produit.

Q8. L'ensemble des nombres premiers de $] n, n]$ est la différence de l'ensemble des nombres premiers $\leq n$ et de celui des nombres premiers $\leq n$ (qui y est inclus) : il a $π (n) - π (n)$ éléments ( $n \geq 1$ , donc $π (n)$ est bien défini). Chacun vérifie $p > n$ , donc

$(n)^{π (n) - π (n)} \leq n < p \leq n \prod p \leq p \leq n \prod p < 4^{n},$

par Q7 puis Q2. Comme $(n)^{m} = n^{m /2}$ , on a $n^{(π (n) - π (n)) /2} < 4^{n}$ .

Q9. Première inégalité. Les nombres premiers $\leq n$ sont des entiers de ${2, \dots, ⌊ n ⌋}$ , donc $π (n) \leq ⌊ n ⌋ - 1 < n$ .

Deuxième inégalité. Comme $n \geq 2$ , $ln n > 0$ , et $n < \frac{n}{l n n} ⟺ ln n < n$ . Étudions $φ (t) = t - ln t$ sur $[1, + \infty [$ : $φ$ est dérivable et

$φ^{'} (t) = \frac{1}{2 t} - \frac{1}{t} = \frac{t - 2}{2 t},$

négative sur $[1, 4]$ , positive sur $[4, + \infty [$ . Donc $φ$ atteint son minimum en $4$ et, pour $t \geq 1$ , $φ (t) \geq φ (4) = 2 - ln 4 > 0$ , car $e^{2} > 2^{2} = 4$ (indication $2 > ln 4$ ). Ainsi $ln n < n$ , d'où $n < \frac{n}{l n n}$ .

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