Corrigé Centrale 2025 Maths 1 MP — Partie B (Q14 à Q19) : PPCM d'entiers, décomposition de d_n et majoration d_n ≤ 3^n

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 1 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On admet le théorème des nombres premiers : $π (x) \sim \frac{x}{l n x}$ quand $x \to + \infty$ . Pour $a_{1}, \dots, a_{r} \in N^{*}$ , $d (a_{1}, \dots, a_{r})$ désigne l'entier de Q14, appelé PPCM de $a_{1}, \dots, a_{r}$ ; on note $d_{n} = PPCM (1, 2, \dots, n)$ pour $n \in N^{*}$ . En Q17 et Q18, $n \in N^{*}$ est fixé et, pour $p$ premier, $k_{p}$ est le plus grand entier naturel tel que $p^{k_{p}} \leq n$ .

Q14. Il existe un unique $d (a_{1}, \dots, a_{r}) \in N$ tel que $a_{1} Z \cap \dots \cap a_{r} Z = d (a_{1}, \dots, a_{r}) Z$ .
Q15. $d (a_{1}, \dots, a_{r})$ est le plus petit entier naturel non nul divisible par $a_{1}, \dots, a_{r}$ .
Q16. Calculer $d_{2}$ , $d_{3}$ , $d_{4}$ , puis montrer $d_{n} \leq n!$ .
Q17. Montrer que $d_{n} = \prod_{p \leq n} p^{k_{p}}$ (produit sur les nombres premiers).
Q18. Montrer que $k_{p} = ⌊ ln n / ln p ⌋$ , puis que $d_{n} \leq n^{π (n)}$ .
Q19. En déduire qu'il existe $N \in N^{*}$ tel que $d_{n} \leq 3^{n}$ pour tout $n \geq N$ .

Corrigé

Q14. Existence. Pour chaque $i$ , $a_{i} Z$ est un sous-groupe de $(Z, +)$ ; une intersection de sous-groupes est un sous-groupe, donc $H = a_{1} Z \cap \dots \cap a_{r} Z$ est un sous-groupe de $(Z, +)$ . Par le théorème « les sous-groupes de $(Z, +)$ sont exactement les $d Z$ , $d \in N$ » (de façon équivalente : $Z$ est un anneau principal, $H$ étant aussi un idéal de $Z$ ), il existe $d \in N$ tel que $H = d Z$ .

Unicité. Si $d Z = d^{'} Z$ avec $d, d^{'} \in N$ : si $d = 0$ , alors $d^{'} Z = {0}$ donc $d^{'} = 0$ ; sinon $d^{'} \neq = 0$ de même, et $d \in d^{'} Z$ , $d^{'} \in d Z$ donnent $d^{'} ∣ d$ et $d ∣ d^{'}$ : deux entiers naturels non nuls qui se divisent mutuellement sont égaux ( $d \leq d^{'} \leq d$ ).

Q15. Notons $d = d (a_{1}, \dots, a_{r})$ . L'entier $a_{1} a_{2} \dots a_{r}$ est non nul et appartient à chaque $a_{i} Z$ , donc à $d Z$ : $d Z \neq = {0}$ , d'où $d \geq 1$ .

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