Corrigé Centrale 2025 Maths 1 MP — Partie C (Q20 à Q23) : Critère d'irrationalité par approximations rationnelles, nombre de Liouville

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 1 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soit $α \in R_{+}$ . On suppose qu'il existe deux suites $(p_{n})_{n \in N}$ et $(q_{n})_{n \in N}$ d'entiers naturels non nuls telles que $\frac{p _{n}}{q _{n}} \to α$ , $α - \frac{p _{n}}{q _{n}} = o (\frac{1}{q _{n}})$ et $\frac{p _{n}}{q _{n}} \neq = α$ pour tout $n$ . On note $β = \sum_{n \geq 1} 1 0^{- n!}$ , $ζ (2) = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k ^{2}}$ et $d_{n} = PPCM (1, \dots, n)$ .

Q20. Montrer que $α$ est irrationnel.
Q21. Justifier que $β$ est bien défini et montrer que $β$ est irrationnel.
Q22. Justifier l'existence de $ζ (2)$ et écrire $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ^{2}} = \frac{p _{n}}{q _{n}}$ avec $p_{n} \in N^{*}$ et $q_{n} = d_{n}^{2}$ .
Q23. Peut-on appliquer Q20 à ces suites pour conclure sur l'irrationalité de $ζ (2)$ ?

Corrigé

Q20. Raisonnons par l'absurde : supposons $α = \frac{a}{b}$ avec $a \in N$ et $b \in N^{*}$ ( $α \geq 0$ ). Pour tout $n$ ,

$α - \frac{p _{n}}{q _{n}} = \frac{∣ a q _{n} - b p _{n} ∣}{b q _{n}} .$

L'entier $a q_{n} - b p_{n}$ est non nul, puisque $\frac{p _{n}}{q _{n}} \neq = α$ ; un entier non nul est de valeur absolue au moins $1$ , donc $q_{n} α - \frac{p _{n}}{q _{n}} \geq \frac{1}{b}$ pour tout $n$ . Mais l'hypothèse $α - \frac{p _{n}}{q _{n}} = o (\frac{1}{q _{n}})$ signifie exactement que $q_{n} α - \frac{p _{n}}{q _{n}} \to 0$ : contradiction avec la minoration par $\frac{1}{b} > 0$ . Donc $α \in / Q$ .

Remarque. L'hypothèse $\frac{p _{n}}{q _{n}} \neq = α$ est essentielle (c'est elle qui rend l'entier $a q_{n} - b p_{n}$ non nul) ; l'hypothèse de limite découle d'ailleurs des deux autres, puisque $q_{n} \geq 1$ .

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