Corrigé Centrale 2025 Maths 1 MP — Partie D (Q24 à Q30) : Intégrales doubles J(r,s) : intégrale à paramètre, intégration terme à terme

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 1 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Soient $r, s$ des entiers avec $r \geq s \geq 1$ . Pour $y \in] 0, 1 [$ , on pose $f_{r, s} (y) = \int_{0}^{1} \frac{x ^{r} y ^{s}}{1 - x y} d x$ , puis $J_{r, s} = \int_{0}^{1} f_{r, s} (y) d y = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x ^{r} y ^{s}}{1 - x y} d x d y$ . On note $d_{r} = PPCM (1, \dots, r)$ .

Q24. Pour $y \in] 0, 1 [$ , $x \mapsto \frac{x ^{r} y ^{s}}{1 - x y}$ est intégrable sur $[0, 1]$ .
Q25. $f_{r, s}$ est continue et intégrable sur $] 0, 1 [$ .
Q26. $J_{r, s} = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{1}{( r + k + 1 ) ( s + k + 1 )}$ .
Dans la suite on suppose $r > s$ .
Q27. $\frac{1}{( r + k + 1 ) ( s + k + 1 )} = \frac{1}{r - s} (\frac{1}{s + k + 1} - \frac{1}{r + k + 1})$ .
Q28. En déduire $J_{r, s} = \frac{1}{r - s} \sum_{k = 0}^{+ \infty} (\frac{1}{s + k + 1} - \frac{1}{r + k + 1})$ .
Q29. En déduire $J_{r, s} = \frac{1}{r - s} \sum_{k = s + 1}^{r} \frac{1}{k}$ .
Q30. En déduire $J_{r, s} = \frac{p _{r, s}}{q _{r, s}}$ avec $p_{r, s}, q_{r, s}$ entiers naturels et $q_{r, s}$ divisant $d_{r}^{2}$ .
Le sujet admet ensuite $J_{r, r} = ζ (2) - \sum_{k = 1}^{r} \frac{1}{k ^{2}}$ .

Corrigé

Convention. La partie E utilisera $J_{r, s}$ pour tous $r, s \in {0, \dots, n}$ , y compris $r < s$ ou $r = 0$ ou $s = 0$ . Les démonstrations de Q24 à Q26 ci-dessous n'utilisent ni $r \geq s$ , ni $r, s \geq 1$ : elles valent pour tous $(r, s) \in N^{2}$ .

Q24. Soit $y \in] 0, 1 [$ . Pour $x \in [0, 1]$ , $0 \leq x y \leq y < 1$ , donc $1 - x y \geq 1 - y > 0$ . La fonction $x \mapsto \frac{x ^{r} y ^{s}}{1 - x y}$ est donc continue sur le segment $[0, 1]$ , comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas ; une fonction continue sur un segment y est intégrable.

Q25. Posons $g (x, y) = \frac{x ^{r} y ^{s}}{1 - x y}$ pour $(x, y) \in [0, 1] \times [0, 1 [$ ; $g$ est positive.

Continuité. Fixons $b \in] 0, 1 [$ et appliquons le théorème de continuité sous l'intégrale sur $A = [0, b]$ (paramètre $y$ ) et $I = [0, 1]$ (variable $x$ ) :

(i) pour tout $x \in [0, 1]$ , $y \mapsto g (x, y)$ est continue sur $[0, b]$ (le dénominateur y est $\geq 1 - b > 0$ ) ;
(ii) pour tout $y \in [0, b]$ , $x \mapsto g (x, y)$ est continue sur $[0, 1]$ ;
(iii) domination : pour $(x, y) \in [0, 1] \times [0, b]$ , $0 \leq g (x, y) \leq \frac{1}{1 - b}$ , fonction constante intégrable sur le segment $[0, 1]$ .

Donc $y \mapsto \int_{0}^{1} g (x, y) d x$ est continue sur $[0, b]$ pour tout $b < 1$ , donc sur $[0, 1 [$ ; en particulier $f_{r, s}$ est continue sur $] 0, 1 [$ , et elle est prolongeable par continuité en $0$ .

Intégrabilité. $f_{r, s}$ est positive. Sur $] 0, \frac{1}{2}]$ , elle est continue et prolongeable par continuité en $0$ (continuité sur $[0, b]$ ci-dessus avec $b = \frac{1}{2}$ ), donc bornée sur l'intervalle borné $] 0, \frac{1}{2}]$ , donc intégrable. Sur $[\frac{1}{2}, 1 [$ , comme $0 \leq x^{r} y^{s} \leq 1$ ,

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