Corrigé Centrale 2025 Maths 1 MP — Partie E (Q31 à Q40) : Intégrales de Beukers et irrationalité de ζ(2) et de π

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 1 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $n \in N^{*}$ et $x \in [0, 1]$ , $P_{n} (x) = \frac{1}{n !} \frac{d ^{n}}{d x ^{n}} (x^{n} (1 - x)^{n})$ . On écrit $P_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}$ et $(1 - y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} b_{k} y^{k}$ avec $a_{k}, b_{k} \in Z$ , et $I_{n} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{( 1 - y ) ^{n} P _{n} ( x )}{1 - x y} d x d y$ . Les $J_{r, s}$ et $d_{n}$ sont ceux des parties B et D ; on admet $J_{r, r} = ζ (2) - \sum_{k = 1}^{r} \frac{1}{k ^{2}}$ .

Q31. $P_{n}$ est polynomiale de degré $n$ , à coefficients entiers.
Q32. $I_{n}$ existe et $I_{n} = \sum_{r \neq = s} a_{r} b_{s} J_{r, s} + \sum_{r = 0}^{n} a_{r} b_{r} J_{r, r}$ (indices dans ${0, \dots, n}$ ).
Q33. Il existe $p_{n}, q_{n} \in Z$ tels que $I_{n} = \frac{p _{n} + ζ ( 2 ) q _{n}}{d _{n}^{2}}$ (on admet ensuite $p_{n} \neq = 0$ et $q_{n} \neq = 0$ ).
Q34. Pour $y \in] 0, 1 [$ : $\int_{0}^{1} \frac{P _{n} ( x )}{1 - x y} d x = (- y)^{n} \int_{0}^{1} \frac{x ^{n} ( 1 - x ) ^{n}}{( 1 - x y ) ^{n + 1}} d x$ .
Q35. En déduire $I_{n} = (- 1)^{n} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{x ^{n} ( 1 - x ) ^{n} y ^{n} ( 1 - y ) ^{n}}{( 1 - x y ) ^{n + 1}} d x d y$ .
Q36. Sur $] 0, 1 [^{2}$ : $\frac{x ( 1 - x ) y ( 1 - y )}{1 - x y} \leq \frac{5 5 - 11}{2}$ .
Q37. En déduire $∣ I_{n} ∣ \leq ζ (2) (\frac{5 5 - 11}{2})^{n}$ .
Q38. Il existe $N \in N^{*}$ tel que $0 < ∣ p_{n} + ζ (2) q_{n} ∣ \leq ζ (2) (\frac{5}{6})^{n}$ pour $n \geq N$ (on peut utiliser $9 \cdot \frac{5 5 - 11}{2} \leq \frac{5}{6}$ ).
Q39. $ζ (2)$ est irrationnel.
Q40. En admettant $ζ (2) = \frac{π ^{2}}{6}$ , $π$ est irrationnel.

Corrigé

Q31. Par la formule du binôme, $x^{n} (1 - x)^{n} = \sum_{j = 0}^{n} (j n) (- 1)^{j} x^{n + j}$ . Pour $j \geq 0$ , la dérivée $n$ -ième de $x \mapsto x^{n + j}$ est $x \mapsto \frac{( n + j )!}{j !} x^{j}$ (car $n + j \geq n$ ). Par linéarité de la dérivation,

$P_{n} (x) = j = 0 \sum n (- 1)^{j} (j n) \frac{( n + j )!}{n ! j !} x^{j} = j = 0 \sum n (- 1)^{j} (j n) (j n + j) x^{j} .$

Les coefficients $a_{j} = (- 1)^{j} (j n) (j n + j)$ sont des entiers, et $a_{n} = (- 1)^{n} (n 2 n) \neq = 0$ : $P_{n}$ est polynomiale de degré $n$ à coefficients dans $Z$ . De même $b_{k} = (- 1)^{k} (k n)$ .

Q32. Pour $y \in] 0, 1 [$ et $x \in [0, 1]$ , $(1 - y)^{n} P_{n} (x) = \sum_{r = 0}^{n} \sum_{s = 0}^{n} a_{r} b_{s} x^{r} y^{s}$ . La fonction $x \mapsto \frac{( 1 - y ) ^{n} P _{n} ( x )}{1 - x y}$ est continue sur $[0, 1]$ (Q24), et par linéarité de l'intégrale sur le segment $[0, 1]$ ,

$\int_{0}^{1} \frac{( 1 - y ) ^{n} P _{n} ( x )}{1 - x y} d x = r = 0 \sum n s = 0 \sum n a_{r} b_{s} f_{r, s} (y),$

où $f_{r, s}$ est défini comme en partie D pour tous $(r, s) \in N^{2}$ . Par Q25, établi pour tous $(r, s) \in N^{2}$ (voir la convention de la partie D), chaque $f_{r, s}$ est intégrable sur $] 0, 1 [$ ; une combinaison linéaire de fonctions intégrables l'est aussi. Donc $I_{n}$ existe et, par linéarité,

$I_{n} = r = 0 \sum n s = 0 \sum n a_{r} b_{s} J_{r, s} = 0 \leq r, s \leq n r \neq = s \sum a_{r} b_{s} J_{r, s} + r = 0 \sum n a_{r} b_{r} J_{r, r},$

en séparant les couples $r \neq = s$ des couples diagonaux.

Q33. Termes non diagonaux. Soient $r \neq = s$ dans ${0, \dots, n}$ , $R = max (r, s) \geq 1$ et $S = min (r, s)$ . Par symétrie (Q26) puis Q29--Q30 (valables pour $R > S \geq 0$ ), $J_{r, s} = J_{R, S} = \frac{p _{R, S}}{q _{R, S}}$ avec $q_{R, S} ∣ d_{R}^{2}$ . Or $d_{n}$ est un multiple commun de $1, \dots, R$ ( $R \leq n$ ), donc $d_{n} \in ⋂_{k \leq R} k Z = d_{R} Z$ : $d_{R} ∣ d_{n}$ , puis $q_{R, S} ∣ d_{R}^{2} ∣ d_{n}^{2}$ . Ainsi $m_{r, s} = d_{n}^{2} J_{r, s} = p_{R, S} \frac{d _{n}^{2}}{q _{R, S}} \in N$ .

Termes diagonaux. $J_{r, r} = ζ (2) - \sum_{k = 1}^{r} \frac{1}{k ^{2}}$ (résultat admis, déduit de Q26 en partie D), et comme en Q22, $c_{r} = d_{n}^{2} \sum_{k = 1}^{r} \frac{1}{k ^{2}} = \sum_{k = 1}^{r} (\frac{d _{n}}{k})^{2} \in N$ (car $k \leq r \leq n$ divise $d_{n}$ ; $c_{0} = 0$ ).

Synthèse. En multipliant Q32 par $d_{n}^{2}$ :

$d_{n}^{2} I_{n} = p_{n} r \neq = s \sum a_{r} b_{s} m_{r, s} - r = 0 \sum n a_{r} b_{r} c_{r} + ζ (2) q_{n} d_{n}^{2} r = 0 \sum n a_{r} b_{r},$

avec $p_{n}, q_{n} \in Z$ puisque les $a_{r}, b_{s}, m_{r, s}, c_{r}$ sont entiers. D'où $I_{n} = \frac{p _{n} + ζ ( 2 ) q _{n}}{d _{n}^{2}}$ .

100 % gratuit

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, question par question, et le tuteur pour poser des questions sur ce sujet.

Voir le corrigé complet, gratuitement

Inscription gratuite en 30 secondes (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe ou profil), sans carte bancaire : arrivée directe sur le corrigé.

Toutes les parties de l'épreuve

Corrigé complet gratuit →