Corrigé Centrale 2025 Maths 1 PC — Partie A (Q1 à Q7) : Gaussiennes, transformée de Fourier et égalité d'Heisenberg

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 1 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$E = C^{\infty} (R, C)$ ; pour un endomorphisme $ϕ$ , $VP (ϕ)$ est l'ensemble de ses valeurs propres et $E_{λ} (ϕ) = Ker (ϕ - λ Id)$ .

Q1. Montrer que $ℓ : f \mapsto - f^{''}$ est un endomorphisme de $E$ .
Q2. Montrer $R_{+} \subset VP (ℓ)$ et donner une base de $E_{λ} (ℓ)$ pour $λ \in R_{+}$ .

Pour $a > 0$ , $G_{a} (t) = e^{- \frac{1}{2} a t^{2}}$ ; on admet $\int_{- \infty}^{+ \infty} G_{a} (t) d t = 2 π / a$ . On fixe $a > 0$ .
Q3. Montrer la convergence de $\int_{- \infty}^{+ \infty} G_{a} (t) e^{- i ξ t} d t$ pour tout $ξ \in R$ ; on note $G_{a} (ξ)$ sa valeur.
Q4. Montrer que $G_{a}$ est de classe $C^{1}$ .
Q5. Trouver une équation différentielle du premier ordre vérifiée par $G_{a}$ ; en déduire $G_{a} = 2 π / a G_{1/ a}$ .
Q6. Montrer la convergence de $\int_{R} G_{a}^{2}$ et $\int_{R} u^{2} G_{a}^{2} (u) d u$ et les calculer.
Q7. Avec $σ_{T}^{2} (G_{a}) = \frac{\int _{R} u ^{2} G _{a} ( u ) ^{2} d u}{\int _{R} G _{a}^{2}}$ et $σ_{F}^{2} (G_{a}) = \frac{\int _{R} u ^{2} G _{a} ( u ) ^{2} d u}{2 π \int _{R} G _{a}^{2}}$ , montrer $σ_{T}^{2} (G_{a}) = γ (σ_{F}^{2} (G_{a}))$ où $γ (x) = \frac{1}{4 x}$ .

Corrigé

Q1. Stabilité. Soit $f \in E$ . Comme $f$ est indéfiniment dérivable, $f^{''}$ l'est aussi (ses dérivées successives sont les $f^{(k + 2)}$ ), donc $ℓ (f) = - f^{''} \in E$ : $ℓ$ est bien une application de $E$ dans $E$ .

Linéarité. Pour $f, g \in E$ et $λ \in C$ , la linéarité de la dérivation donne $(λ f + g)^{''} = λ f^{''} + g^{''}$ , d'où

$ℓ (λ f + g) = - λ f^{''} - g^{''} = λ ℓ (f) + ℓ (g) .$

Ainsi $ℓ$ est un endomorphisme de $E$ .

Ce que le correcteur attend : les deux points, et d'abord la stabilité ( $ℓ (f) \in E$ ), que le jury signale comme souvent oubliée.

Q2. Soit $λ \in R_{+}$ . Pour $f \in E$ , $f \in E_{λ} (ℓ) ⟺ - f^{''} = λ f ⟺ f^{''} + λ f = 0$ . C'est une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants ; ses solutions à valeurs complexes forment un $C$ -espace vectoriel de dimension $2$ , et elles sont toutes de classe $C^{\infty}$ (formes explicites ci-dessous), donc $E_{λ} (ℓ)$ est exactement cet espace de solutions.

Cas $λ > 0$ . L'équation caractéristique $r^{2} + λ = 0$ a pour racines $\pm i λ$ . Les solutions sont les fonctions

$t \mapsto A cos (λ t) + B sin (λ t), (A, B) \in C^{2} .$

Notons $c_{λ} : t \mapsto cos (λ t)$ et $s_{λ} : t \mapsto sin (λ t)$ . La famille $(c_{λ}, s_{λ})$ est génératrice ; elle est libre : si $A c_{λ} + B s_{λ} = 0$ , l'évaluation en $t = 0$ donne $A = 0$ , puis l'évaluation en $t = \frac{π}{2 λ}$ donne $B = 0$ . C'est donc une base de $E_{λ} (ℓ)$ .

Cas $λ = 0$ . L'équation est $f^{''} = 0$ ; ses solutions sont les fonctions affines $t \mapsto A + B t$ , $(A, B) \in C^{2}$ . La famille $(t \mapsto 1, t \mapsto t)$ est génératrice et libre (si $A + B t = 0$ pour tout $t$ , $t = 0$ donne $A = 0$ puis $t = 1$ donne $B = 0$ ) : c'est une base de $E_{0} (ℓ)$ .

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