Corrigé Centrale 2025 Maths 1 PC — Partie B (Q8 à Q15) : Laplacien d'une matrice d'adjacence : positivité et noyau

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 1 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$N ⩾ 2$ . $G$ est l'ensemble des matrices symétriques réelles de taille $N$ , à coefficients dans ${0, 1}$ et de diagonale nulle. Pour $A = (a_{i, j}) \in G$ , $δ (A) = diag (\sum_{k} a_{1, k}, \dots, \sum_{k} a_{N, k})$ et $L_{A} = δ (A) - A$ . On note $S_{N}^{+} (R)$ (resp. $S_{N}^{++} (R)$ ) les matrices symétriques réelles positives (resp. définies positives), $1_{N}$ la colonne de $1$ , et $x \in R^{N}$ est identifié à une colonne.

Q8. Pour $B = 0001001001001000$ , calculer $L_{B}$ et $rg (L_{B})$ .
Q9. Calculer $L_{B}^{2}$ ; en déduire $Sp (L_{B})$ et la dimension de chaque sous-espace propre.
Q10. $L_{B}$ est-elle dans $S_{4}^{+} (R)$ ? dans $S_{4}^{++} (R)$ ?
Q11. Montrer $Vect (1_{N}) \subset Ker (L_{A})$ . Y a-t-il égalité ?
Q12. Montrer $\sum_{(i, j)} a_{i, j} x_{i}^{2} = x^{T} δ (A) x$ .
Q13. En déduire $(⋆)$ : $\sum_{i < j} a_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2} = \frac{1}{2} \sum_{(i, j)} a_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2} = x^{T} L_{A} x$ .
Q14. En déduire $L_{A} \in S_{N}^{+} (R)$ .
Q15. Propriété $(Γ)$ : pour tous $i \neq = j$ , il existe $n ⩾ 2$ et des indices deux à deux distincts $i_{1} = i, i_{2}, \dots, i_{n} = j$ avec $a_{i_{k}, i_{k + 1}} = 1$ pour $1 ⩽ k ⩽ n - 1$ . Si $A$ vérifie $(Γ)$ , montrer $Ker (L_{A}) = Vect (1_{N})$ .

Corrigé

Q8. Chaque ligne de $B$ contient exactement un coefficient égal à $1$ : $δ (B) = I_{4}$ , et

$L_{B} = I_{4} - B = 100 - 1 01 - 1 0 0 - 1 10 - 1 001 .$

Notons $C_{1}, \dots, C_{4}$ ses colonnes : $C_{4} = - C_{1}$ et $C_{3} = - C_{2}$ , donc $rg (L_{B}) = rg (C_{1}, C_{2})$ . Les colonnes $C_{1} = (1, 0, 0, - 1)^{T}$ et $C_{2} = (0, 1, - 1, 0)^{T}$ ne sont pas colinéaires (si $α C_{1} + β C_{2} = 0$ , la première coordonnée donne $α = 0$ , la deuxième $β = 0$ ). Donc

$rg (L_{B}) = 2.$

Ce que le correcteur attend : les relations $C_{4} = - C_{1}$ , $C_{3} = - C_{2}$ ne donnent que $rg ⩽ 2$ ; l'indépendance de $C_{1}$ et $C_{2}$ donne l'égalité.

Q9. $B$ est la matrice de la permutation qui échange $1$ et $4$ , et $2$ et $3$ : $B^{2} = I_{4}$ (on le vérifie aussi par le calcul direct). Comme $I_{4}$ et $B$ commutent,

$L_{B}^{2} = (I_{4} - B)^{2} = I_{4} - 2 B + B^{2} = 2 I_{4} - 2 B = 2 L_{B} .$

Le polynôme $P = X^{2} - 2 X = X (X - 2)$ annule $L_{B}$ , donc $Sp (L_{B}) \subset {0, 2}$ (inclusion seulement : une racine d'un polynôme annulateur n'est pas forcément valeur propre).

$0$ est valeur propre : par le théorème du rang, $dim Ker (L_{B}) = 4 - rg (L_{B}) = 2$ (Q8). Donc $dim E_{0} (L_{B}) = 2$ .
$P$ est scindé à racines simples et annule $L_{B}$ : $L_{B}$ est diagonalisable, donc $dim E_{0} (L_{B}) + dim E_{2} (L_{B}) = 4$ , d'où $dim E_{2} (L_{B}) = 2$ . En particulier $2$ est valeur propre. (Directement : $L_{B} - 2 I_{4} = - (I_{4} + B)$ , dont les colonnes vérifient $C_{4} = C_{1}$ , $C_{3} = C_{2}$ avec $C_{1}$ , $C_{2}$ indépendantes, est de rang $2$ .)

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