Corrigé Centrale 2025 Maths 1 PC — Partie C (Q16 à Q25) : Spectre du laplacien de l'étoile, région de faisabilité et courbe d'incertitude

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 1 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de la partie B. Désormais $N ⩾ 4$ et $A \in M_{N} (R)$ a pour première ligne et pour première colonne $(0, 1, \dots, 1)$ , tous ses autres coefficients étant nuls. On pose $D = diag (0, 1, \dots, 1)$ et, pour $x \in R^{N} ∖ {0}$ , $σ_{M}^{2} (x) = \frac{x ^{T} D x}{∥ x ∥ ^{2}}$ , $σ_{S}^{2} (x) = \frac{x ^{T} L _{A} x}{∥ x ∥ ^{2}}$ ( $∥ \cdot ∥$ norme euclidienne canonique).

Q16. Montrer que $A \in G$ et que $A$ vérifie $(Γ)$ .
Q17. Montrer que $Sp (L_{A}) = {λ_{1}, \dots, λ_{N}}$ avec $0 = λ_{1} < λ_{2} ⩽ \dots ⩽ λ_{N}$ .
Q18. Calculer $L_{A}$ et $rg (L_{A} - I_{N})$ ; en déduire $Sp (L_{A})$ et vérifier $dim E_{λ_{N}} (L_{A}) = 1$ .
Q19. Montrer $λ_{1} ⩽ σ_{S}^{2} (x) ⩽ λ_{N}$ , puis $σ_{S}^{2} (μx) = σ_{S}^{2} (x)$ pour $μ \neq = 0$ , et $σ_{S}^{2} (x) = λ_{1} ⟺ x \in E_{λ_{1}} (L_{A})$ . (On admet l'analogue pour $λ_{N}$ .)

$R = {(s, m) \in R_{+}^{2} ∣ \exists x \neq = 0, σ_{S}^{2} (x) = s, σ_{M}^{2} (x) = m}$ (région de faisabilité).
Q20. Montrer $R \subset [0, λ_{N}] \times [0, 1]$ .
Q21. Si $σ_{S}^{2} (x) = 0$ , montrer $σ_{M}^{2} (x) = \frac{N - 1}{N}$ ; en déduire l'intersection de $R$ avec la droite $s = 0$ .
Q22. De même, intersection de $R$ avec les droites $s = λ_{N}$ et $m = 0$ .
Q23. Soient $e_{1} \in E_{λ_{1}} (L_{A})$ , $e_{N} \in E_{λ_{N}} (L_{A})$ unitaires et $x_{t} = (1 - t) e_{1} + t e_{N}$ . Justifier que $φ : t \mapsto σ_{S}^{2} (x_{t})$ est définie sur $[0, 1]$ ; montrer que tout $s \in [0, λ_{N}]$ est une valeur $σ_{S}^{2} (x)$ .
Q24. Montrer l'existence de $γ_{-} (s) = min {σ_{M}^{2} (x) : ∥ x ∥ = 1, σ_{S}^{2} (x) = s}$ pour $s \in [0, λ_{N}]$ .
Q25. On admet que $R$ est convexe. Montrer que $γ_{-}$ est convexe sur $[0, λ_{N}]$ .

Corrigé

On note $(ε_{1}, \dots, ε_{N})$ la base canonique de $R^{N}$ (la lettre $e$ est réservée par l'énoncé en Q23) et $1_{N} = (1, \dots, 1)^{T}$ .

Q16. $A$ est symétrique (sa première ligne est la transposée de sa première colonne, ses autres coefficients sont nuls), à coefficients dans ${0, 1}$ , et sa diagonale est nulle ( $a_{1, 1} = 0$ et $a_{i, i} = 0$ pour $i ⩾ 2$ ) : $A \in G$ .

Propriété $(Γ)$ . Soient $i \neq = j$ dans $[[1, N]]$ .

Si $i = 1$ ou $j = 1$ , l'autre indice est $⩾ 2$ et $a_{i, j} = 1$ : on prend $n = 2$ , $i_{1} = i$ , $i_{2} = j$ .
Si $i ⩾ 2$ et $j ⩾ 2$ , on prend $n = 3$ , $i_{1} = i$ , $i_{2} = 1$ , $i_{3} = j$ : ces indices sont deux à deux distincts, et $a_{i, 1} = a_{1, j} = 1$ .

Donc $A$ vérifie $(Γ)$ (le graphe associé est une étoile de centre $1$ ).

Q17. $L_{A}$ est symétrique réelle (Q14). Par le théorème spectral, $L_{A}$ est diagonalisable dans une base orthonormée et ses valeurs propres sont réelles ; on note $λ_{1} ⩽ λ_{2} ⩽ \dots ⩽ λ_{N}$ ses valeurs propres répétées selon leur multiplicité, de sorte que $Sp (L_{A}) = {λ_{i}, i \in [[1, N]]}$ .

Positivité. $L_{A} \in S_{N}^{+} (R)$ (Q14), donc, par la caractérisation spectrale de la positivité, $λ_{i} ⩾ 0$ pour tout $i$ .

La valeur propre $0$ est simple. $A$ vérifie $(Γ)$ (Q16), donc $Ker (L_{A}) = Vect (1_{N})$ (Q15) : $0$ est valeur propre et $dim E_{0} (L_{A}) = 1$ . $L_{A}$ étant diagonalisable, la multiplicité de $0$ égale $dim E_{0} (L_{A}) = 1$ : $0$ figure exactement une fois dans la liste. Comme tous les $λ_{i}$ sont $⩾ 0$ , $λ_{1} = 0$ et $λ_{2} > 0$ . Ainsi $(λ_{1}, \dots, λ_{N}) \in R_{+}^{N}$ et $0 = λ_{1} < λ_{2} ⩽ \dots ⩽ λ_{N}$ .

Ce que le correcteur attend : le théorème spectral nommé (réalité des valeurs propres, diagonalisabilité) et l'inégalité stricte $λ_{1} < λ_{2}$ , qui vient de $dim Ker (L_{A}) = 1$ .

Q18. Les sommes des lignes de $A$ valent $N - 1$ (ligne $1$ ) et $1$ (lignes $2$ à $N$ ) : $δ (A) = diag (N - 1, 1, \dots, 1)$ et

$L_{A} = N - 1 - 1 ⋮ - 1 - 1 10 \dots ⋱ - 1 01, L_{A} - I_{N} = N - 2 - 1 ⋮ - 1 - 1 0 ⋮ 0 \dots \dots \dots - 1 0 ⋮ 0 .$

Les colonnes $2$ à $N$ de $L_{A} - I_{N}$ sont toutes égales à $- ε_{1} \neq = 0$ ; la première, $(N - 2, - 1, \dots, - 1)^{T}$ , a une deuxième coordonnée non nulle, donc n'est pas colinéaire à $ε_{1}$ . Ainsi $rg (L_{A} - I_{N}) = 2$ .

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