Corrigé Centrale 2025 Maths 1 PC — Partie D (Q26 à Q35) : Formule explicite de la courbe d'incertitude par le théorème spectral

Rappels (partie C) : ${\lambda }_N=N$ ; $({\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_N)$ est la base canonique ; pour $\Vert x\Vert =1$, ${\sigma }_{\mathrm{S}}^2(x)=x^T{L}_{A}x$ et ${\sigma }_{\mathrm{M}}^2(x)=x^{T}Dx$.

Q26. $M(\alpha )$ est symétrique réelle. Le raisonnement de Q19 (base orthonormée de vecteurs propres, théorème spectral) appliqué à $M(\alpha )$ donne, pour tout $x$ unitaire,

$$x^{T}M(\alpha )x⩾{\mu }_{\alpha }^{-}\Vert x{\Vert }^2={\mu }_{\alpha }^{-},$$

avec égalité pour $x=y$, puisque $M(\alpha )y={\mu }_{\alpha }^{-}y$ et $y^{T}y=1$. Posons $s={\sigma }_{\mathrm{S}}^2(y)$ ; $s\in [0,{\lambda }_N]$ (Q20), donc ${\gamma }_{-}(s)$ existe (Q24). Pour tout $x$ unitaire tel que ${\sigma }_{\mathrm{S}}^2(x)=s$ :

$$x^{T}Dx-\alpha s=x^{T}M(\alpha )x⩾{\mu }_{\alpha }^{-}=y^{T}M(\alpha )y=y^{T}Dy-\alpha s,$$

d'où ${\sigma }_{\mathrm{M}}^2(x)⩾{\sigma }_{\mathrm{M}}^2(y)$. Comme $y$ est lui-même unitaire avec ${\sigma }_{\mathrm{S}}^2(y)=s$, il réalise le minimum : ${\sigma }_{\mathrm{M}}^2(y)={\gamma }_{-}(s)={\gamma }_{-}({\sigma }_{\mathrm{S}}^2(y))$. Géométriquement, la droite $m=\alpha s+{\mu }_{\alpha }^{-}$ laisse $\mathcal{R}$ au-dessus d'elle et la touche au point associé à $y$.

Q27. Avec $L_A$ calculée en Q18 et $D=\mathrm{diag}(0,1,\dots ,1)$, les coefficients de $M(\alpha )$ sont : $-\alpha (N-1)$ en $(1,1)$, $1-\alpha$ en $(i,i)$ pour $i⩾2$, $\alpha$ en $(1,j)$ et $(j,1)$ pour $j⩾2$, $0$ ailleurs. Comme $-\alpha (N-1)-(1-\alpha )=-(1+\alpha (N-2))$,

$$M(\alpha )-(1-\alpha )I_N=\left(\begin{array}{cccc}-(1+\alpha (N-2))& \alpha & \cdots & \alpha \\ \alpha & 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \alpha & 0& \cdots & 0\end{array}\right).$$

Les colonnes $2$ à $N$ sont toutes égales à $\alpha {\epsilon }_1$, non nulle car $\alpha \ne 0$ ; la première a pour deuxième coordonnée $\alpha \ne 0$, donc n'est pas colinéaire à ${\epsilon }_1$. Le rang vaut $2$. Par le théorème du rang, $\dim E_{1-\alpha }(M(\alpha ))=N-2⩾2$ : $1-\alpha \in \mathrm{Sp}(M(\alpha ))$, donc ${\mu }_{\alpha }^{-}⩽1-\alpha ⩽{\mu }_{\alpha }^{+}$.

Ce que le correcteur attend : l'usage de $\alpha \ne 0$ (pour $\alpha =0$, $M(0)-I_N=\mathrm{diag}(-1,0,\dots ,0)$ est de rang $1$).

Q28. Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, $(x-a)(x-b)+\lambda (x-c)=x^2-(a+b-\lambda )x+ab-\lambda c$, de discriminant

$$\Delta (\lambda )=(a+b-\lambda {)}^2-4(ab-\lambda c)={\lambda }^2+2(2c-a-b)\lambda +(a-b{)}^2.$$

L'hypothèse dit $\Delta (\lambda )⩾0$ pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$. Or $\Delta$ est un trinôme en $\lambda$ de coefficient dominant $1>0$ : s'il avait un discriminant strictement positif, il aurait deux racines distinctes et serait strictement négatif entre elles. Son discriminant réduit est donc négatif ou nul :

$$(2c-a-b{)}^2-(a-b{)}^2⩽0⟺|2c-a-b|⩽b-a(\text{car }b-a⩾0),$$

soit $a-b⩽2c-a-b⩽b-a$, c'est-à-dire $2a⩽2c⩽2b$ : $a⩽c⩽b$.

Q29. Relation. On note ${\chi }_P(x)=\det (x{I}_N-P)$. La première colonne de $x{I}_N-N(\lambda )$ est celle de $x{I}_N-M(\alpha )$ augmentée de $\lambda {\epsilon }_1$, les autres colonnes sont égales. Par linéarité du déterminant par rapport à la première colonne,

$$\begin{array}{rl}{\chi }_{N(\lambda )}(x)& ={\chi }_{M(\alpha )}(x)+\det (\lambda {\epsilon }_1,\text{colonnes }2\text{ aˋ }N\text{ de }x{I}_N-M(\alpha ))\\ & ={\chi }_{M(\alpha )}(x)+\lambda (x-(1-\alpha ){)}^{N-1},\end{array}$$