Corrigé Centrale 2025 Maths 1 PSI — Partie A — I (Q1 à Q10) : Une norme sur les matrices : bonne définition, borne atteinte, sous-multiplicativité

Notations du problème : $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ; on identifie ${\mathbb{R}}^n$ à ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$, de base canonique $(E_1,\dots ,E_n)$, muni du produit scalaire canonique $⟨X,Y⟩=X^{\top }Y$ et de la norme euclidienne $\Vert \cdot \Vert$. Pour $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, $\rho (M)={\max }_{\lambda \in {\mathrm{Sp}}_{\mathbb{C}}(M)}|\lambda |$ ; ${\mathrm{D}}_n(\mathbb{R})$ est l'espace des matrices diagonales. On pose

$$N(A)=\underset{\Vert X\Vert =1}{\sup }\Vert AX\Vert (A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})).$$

Dans cette sous-partie, $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ a pour lignes $L_1,\dots ,L_n$ et pour colonnes $C_1,\dots ,C_n$ (vues comme vecteurs de ${\mathbb{R}}^n$).

Q1. Pour $\Vert X\Vert =1$ et $M={\max }_i\Vert L_i\Vert$, montrer que $\Vert AX\Vert ⩽M\sqrt{n}$.
Q2. En déduire que $N$ est bien définie et que $N(A)={\sup }_{X_0\ne 0}\Vert A{X}_0\Vert /\Vert X_0\Vert$.
Q3. Montrer que $N$ est une norme sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.
Q4. L'application $M\mapsto \rho (M)$ est-elle une norme sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ ?
Q5. Pour $\Delta \in {\mathrm{D}}_n(\mathbb{R})$ de termes diagonaux ${\delta }_1,\dots ,{\delta }_n$, vérifier que $N(\Delta )={\max }_i|{\delta }_i|$.
Q6. À l'aide de $X\mapsto \Vert AX\Vert$, montrer que la borne supérieure est atteinte : $N(A)={\max }_{\Vert X\Vert =1}\Vert AX\Vert$.
Q7. Établir $\Vert AX\Vert ⩽N(A)\Vert X\Vert$ pour tout $X\in {\mathbb{R}}^n$.
Q8. Montrer que $N(AB)⩽N(A)N(B)$.
Q9. Montrer que ${\max }_i\Vert C_i\Vert ⩽N(A)$.
Q10. Calculer $N(A)$ quand toutes les colonnes de $A$ sont nulles sauf la dernière ; application à la matrice $3\times 3$ dont seule la dernière colonne, égale à $(0,-1,1{)}^{\top }$, est non nulle.