Corrigé Centrale 2025 Maths 1 PSI — Partie A — II (Q11 à Q15) : Matrices orthogonales et symétriques : invariance de la norme, norme égale au rayon spectral

Notations de la partie A.I : $\Vert \cdot \Vert$ norme euclidienne canonique de ${\mathbb{R}}^n$, $N(A)={\sup }_{\Vert X\Vert =1}\Vert AX\Vert$ (borne atteinte d'après Q6), $\rho (A)$ plus grand module d'une valeur propre complexe de $A$. Ici $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est quelconque et $U\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ est orthogonale.

Q11. Déterminer $N(U)$.
Q12. Montrer que $N(UA)=N(A)$.
Q13. À l'aide d'un $X_0$ unitaire tel que $\Vert A{X}_0\Vert =N(A)$, montrer que $N(AU)=N(A)$.
Q14. Si de plus $A$ est symétrique réelle, montrer que $N(A)=\rho (A)$.
Q15. Calculer $N(A)$ pour la matrice $A$ de taille $3$ ayant des $2$ sur la diagonale et des $1$ partout ailleurs.