Corrigé Centrale 2025 Maths 1 PSI — Partie B (Q16 à Q22) : Conditionnement : propriétés et exemple d'une matrice bidiagonale mal conditionnée

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 1 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$N$ est la norme de la partie A : $N (A) = max_{∥ X ∥ = 1} ∥ A X ∥$ . Pour $A \in GL_{n} (R)$ , on pose $cond (A) = N (A) N (A^{- 1})$ .

Sous-partie I. $A$ est inversible et $U$ orthogonale.
Q16. Montrer que $1 ⩽ cond (A)$ .
Q17. Comparer $cond (A)$ et $cond (α A)$ pour $α \in R^{*}$ .
Q18. Montrer que $cond (U) = 1$ .
Q19. Comparer $cond (U A)$ , $cond (A U)$ et $cond (A)$ .

Sous-partie II. Ici $A = (a_{i, j})$ avec $a_{i, i} = 1$ , $a_{i, i + 1} = 2$ et $a_{i, j} = 0$ sinon (bidiagonale supérieure).
Q20. Pour $X = \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{n - k} 2^{n - k} E_{k}$ , montrer que $A X = E_{n}$ .
Q21. En déduire que $N (A^{- 1}) ⩾ 2^{n - 1}$ .
Q22. Justifier que $∥ A E_{2} ∥ > 2$ , puis que $cond (A) > 2^{n}$ .

Corrigé

Q16. On a $I_{n} = A A^{- 1}$ . La matrice $I_{n}$ est orthogonale, donc $N (I_{n}) = 1$ (Q11 ; directement, $∥ I_{n} X ∥ = ∥ X ∥$ ). Par la sous-multiplicativité Q8 :

$1 = N (I_{n}) = N (A A^{- 1}) ⩽ N (A) N (A^{- 1}) = cond (A) .$

Q17. Pour $α \neq = 0$ , $α A$ est inversible d'inverse $α^{- 1} A^{- 1}$ (car $α A \cdot α^{- 1} A^{- 1} = I_{n}$ ). Par l'homogénéité de la norme $N$ (Q3) :

$cond (α A) = N (α A) N (α^{- 1} A^{- 1}) = ∣ α ∣ N (A) \cdot \frac{1}{∣ α ∣} N (A^{- 1}) = cond (A) .$

Le conditionnement est invariant par multiplication par un scalaire non nul.

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