Corrigé Centrale 2025 Maths 1 PSI — Partie C (Q23 à Q28) : Conditionnement et valeurs propres de la matrice transposée fois la matrice

Notations : $N(A)={\max }_{\Vert X\Vert =1}\Vert AX\Vert$, $\rho$ le rayon spectral, $\mathrm{cond}(A)=N(A)N(A^{-1})$ ; ${\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ et ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ sont les ensembles de matrices symétriques positives et définies positives.

Q23. Soit $S\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$, de valeurs propres ${\lambda }_1⩽\cdots ⩽{\lambda }_n$ et $(V_1,\dots ,V_n)$ une base orthonormée de vecteurs propres associés. Montrer que $N(S)={\max }_{\Vert X\Vert =1}|⟨SX,X⟩|$.
Q24. Pour $A$ non nulle, montrer que $A^{\top }A\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ et que $N(A^{\top }A)=N(A{)}^2$.
Q25. En déduire que $N(A)=\sqrt{\rho (A^{\top }A)}$.
Q26. Pour $A$ inversible, à l'aide de $A^{\top }A=A^{-1}(A{A}^{\top })A$, montrer que $A{A}^{\top }$ et $A^{\top }A$ ont les mêmes valeurs propres.
Q27. Pour $A$ inversible, ${\mu }_m$ et ${\mu }_M$ désignant la plus petite et la plus grande valeur propre de $A^{\top }A$ (avec $0<{\mu }_m⩽{\mu }_M$), montrer que $\mathrm{cond}(A)=\sqrt{{\mu }_M/{\mu }_m}$.
Q28. Exprimer $\mathrm{cond}(A)$ à l'aide des valeurs propres de $A$ lorsque $A\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, en remarquant que $A^{\top }A=A^2$.