Corrigé Centrale 2025 Maths 1 PSI — Partie D (Q29 à Q32) : Éléments propres et conditionnement de la matrice tridiagonale du laplacien discret

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 1 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$T \in M_{n} (R)$ est la matrice tridiagonale de coefficients $t_{i, i} = 2$ , $t_{i, i + 1} = t_{i + 1, i} = - 1$ , et $t_{i, j} = 0$ si $∣ i - j ∣ ⩾ 2$ . Le conditionnement est $cond (A) = N (A) N (A^{- 1})$ (parties B et C).

Q29. Montrer que les valeurs propres de $T$ sont réelles.
Q30. Pour $k \in N$ non multiple de $n + 1$ , on pose $U_{k} = (sin \frac{j k π}{n + 1})_{1 ⩽ j ⩽ n}$ . Montrer que $U_{k}$ est vecteur propre de $T$ et préciser la valeur propre.
Q31. En déduire l'ensemble des valeurs propres de $T$ .
Q32. En déduire $cond (T)$ .

Corrigé

Q29. $T$ est une matrice symétrique réelle ( $t_{i, j} = t_{j, i}$ pour tous $i, j$ ). Par le théorème spectral (réalité du spectre), toutes ses valeurs propres complexes sont réelles, et $T$ est diagonalisable dans une base orthonormée.

Q30. Posons $θ = \frac{k π}{n + 1}$ et $u_{j} = sin (j θ)$ pour $0 ⩽ j ⩽ n + 1$ , de sorte que $U_{k} = (u_{1}, \dots, u_{n})$ . On a

$u_{0} = sin 0 = 0, u_{n + 1} = sin ((n + 1) θ) = sin (k π) = 0.$

Calcul de $T U_{k}$ . La $j$ -ième coordonnée de $T U_{k}$ vaut $- u_{j - 1} + 2 u_{j} - u_{j + 1}$ pour $2 ⩽ j ⩽ n - 1$ ; pour $j = 1$ elle vaut $2 u_{1} - u_{2}$ , et pour $j = n$ , $- u_{n - 1} + 2 u_{n}$ . Grâce à $u_{0} = u_{n + 1} = 0$ , la formule $- u_{j - 1} + 2 u_{j} - u_{j + 1}$ vaut pour tout $j \in {1, \dots, n}$ (pour $n = 1$ , la seule coordonnée est $2 u_{1} = - u_{0} + 2 u_{1} - u_{2}$ , puisqu'ici $u_{2} = u_{n + 1} = 0$ ). Par la formule $sin (a - b) + sin (a + b) = 2 sin a cos b$ ,

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