Corrigé Centrale 2025 Maths 1 PSI — Partie E — I (Q33 à Q38) : Inégalité de Kantorovich par Cauchy-Schwarz et un trinôme du second degré

Dans la partie E, $A\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ a pour valeurs propres $0<{\lambda }_1⩽\cdots ⩽{\lambda }_n$ (avec multiplicité), et $\mathcal{C}=(V_1,\dots ,V_n)$ est une base orthonormée de vecteurs propres associés. On veut établir, pour tout $X\in {\mathbb{R}}^n$, l'inégalité de Kantorovich :

$$(K)\Vert X{\Vert }^4⩽⟨AX,X⟩⟨A^{-1}X,X⟩⩽\frac{1}{4}(\frac{1}{\sqrt{\mathrm{cond}(A)}}+\sqrt{\mathrm{cond}(A)}{)}^2\Vert X{\Vert }^4.$$

On note $P=X^2-({\lambda }_1+{\lambda }_n)X+{\lambda }_1{\lambda }_n$.

Q33. Exprimer $\mathrm{cond}(A)$ à l'aide des valeurs propres de $A$.
Q34. On admet que $(X,Y{)}_A=⟨AX,Y⟩$ est un produit scalaire ; par Cauchy-Schwarz, montrer que $\Vert X{\Vert }^4⩽⟨AX,X⟩⟨A^{-1}X,X⟩$.
Q35. Montrer que $P({\lambda }_k)⩽0$ pour tout $k$.
Q36. Déterminer les valeurs propres de $B=A^{-1}P(A)$ et en déduire que $⟨BX,X⟩⩽0$.
Q37. Pour $X$ fixé, soit $f(\lambda )=⟨AX,X⟩{\lambda }^2-({\lambda }_1+{\lambda }_n)\Vert X{\Vert }^2\lambda +{\lambda }_1{\lambda }_n⟨A^{-1}X,X⟩$. Vérifier que $f(1)=⟨BX,X⟩$, que $f(0)f(1)⩽0$, puis établir

$$(\star )({\lambda }_1+{\lambda }_n{)}^2\Vert X{\Vert }^4-4⟨AX,X⟩⟨A^{-1}X,X⟩{\lambda }_1{\lambda }_n⩾0.$$

Q38. En déduire l'inégalité $(K)$.