Corrigé Centrale 2025 Maths 1 PSI — Partie E — II (Q39 à Q43) : Inégalité de Kantorovich par une variable aléatoire finie

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 1 PSI. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Mêmes notations qu'en E.I : $A \in S_{n}^{++} (R)$ , valeurs propres $0 < λ_{1} ⩽ \dots ⩽ λ_{n}$ , base orthonormée propre $C = (V_{1}, \dots, V_{n})$ , $cond (A) = λ_{n} / λ_{1}$ . On admet qu'il suffit d'établir $(K)$ pour $∥ X ∥ = 1$ . Soit donc $X = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} V_{i}$ unitaire (coordonnées dans $C$ ) et $Z$ une variable aléatoire sur $(Ω, A, P)$ telle que $Z (Ω) = {λ_{1}, \dots, λ_{n}}$ et $P (Z = λ_{i}) = x_{i}^{2}$ pour tout $i$ .

Q39. Justifier que l'on définit bien une loi de probabilité pour $Z$ .
Q40. Justifier que $Z$ et $1/ Z$ ont une espérance et les exprimer à l'aide de $⟨ A X, X ⟩$ et $⟨ A^{- 1} X, X ⟩$ .
Q41. Sachant que $(Z - λ_{1}) (Z - λ_{n})$ est négative, établir $\frac{1}{Z} ⩽ \frac{λ _{1} + λ _{n} - Z}{λ _{1} λ _{n}}$ .
Q42. En déduire $E (Z) E (\frac{1}{Z}) ⩽ - \frac{1}{λ _{1} λ _{n}} (E (Z) - \frac{λ _{1} + λ _{n}}{2})^{2} + \frac{( λ _{1} + λ _{n} ) ^{2}}{4 λ _{1} λ _{n}}$ .
Q43. En déduire la seconde inégalité de $(K)$ .

Corrigé

Q39. Les réels $x_{i}^{2}$ sont positifs, et, la base $C$ étant orthonormée,

$i = 1 \sum n x_{i}^{2} = ∥ X ∥^{2} = 1.$

Si les $λ_{i}$ sont deux à deux distincts, la famille $(x_{i}^{2})_{1 ⩽ i ⩽ n}$ , indexée par les $n$ valeurs $λ_{i}$ , est donc une famille de réels positifs de somme $1$ : elle définit une loi de probabilité sur l'ensemble fini ${λ_{1}, \dots, λ_{n}}$ , et il existe un espace probabilisé et une variable aléatoire $Z$ de cette loi.

Si certaines valeurs propres sont multiples, la donnée « $P (Z = λ_{i}) = x_{i}^{2}$ » doit se lire en regroupant les indices : pour une valeur propre $μ$ , $P (Z = μ) = \sum_{i : λ_{i} = μ} x_{i}^{2}$ . Ce sont encore des réels positifs de somme totale $1$ , et toutes les sommes ci-dessous du type $\sum_{i} g (λ_{i}) x_{i}^{2}$ sont inchangées par ce regroupement. (Si un $x_{i}$ est nul, la valeur $λ_{i}$ est de probabilité nulle, ce qui ne change rien aux calculs.)

Ce que le correcteur attend : la positivité des $x_{i}^{2}$ et le calcul de leur somme, qui utilise l'orthonormalité de $C$ .

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