Corrigé Centrale 2025 Maths 2 MP — Partie A — I, II et III (Q1 à Q7) : Encadrement spectral de l'énergie, modèles de Curie-Weiss et sinus

Dans tout le corrigé, on identifie $x=(x_1,\dots ,x_n)\in {\Lambda }_n$ au vecteur colonne $X={}^t(x_1,\dots ,x_n)$ de ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$, muni du produit scalaire canonique $⟨X,Y⟩={}^{t}XY$. Alors

$$\sum _{1⩽i,j⩽n}{J}_n(i,j)x_i{x}_j={}^{t}X{J}_{n}X,\Vert X{\Vert }^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2=n\text{car }{x}_i^2=1.$$

Q1. La matrice $J_n$ est symétrique réelle. D'après le théorème spectral, elle est diagonalisable dans une base orthonormée : il existe $P\in O_n(\mathbb{R})$ et $D=\mathrm{diag}({\mu }_1,\dots ,{\mu }_n)$ réelle telles que $J_n=PD{}^{t}P$. En particulier toutes ses valeurs propres sont réelles, ce qui donne un sens à ${\lambda }_{\max }$ et ${\lambda }_{\min }$ en Q2.

Q2. Soit $x\in {\Lambda }_n$. Avec les notations de Q1, posons $Y={}^{t}PX=(y_1,\dots ,y_n)$. Comme $P$ est orthogonale, $\Vert Y{\Vert }^2={}^{t}XP{}^{t}PX=\Vert X{\Vert }^2=n$. Par ailleurs

$${}^{t}X{J}_{n}X={}^{t}XPD{}^{t}PX={}^{t}YDY=\sum _{k=1}^n{\mu }_k{y}_k^2.$$

Puisque ${\lambda }_{\min }⩽{\mu }_k⩽{\lambda }_{\max }$ pour tout $k$ et que les $y_k^2$ sont positifs,

$$n{\lambda }_{\min }={\lambda }_{\min }\sum _{k=1}^n{y}_k^2⩽\sum _{k=1}^n{\mu }_k{y}_k^2⩽{\lambda }_{\max }\sum _{k=1}^n{y}_k^2=n{\lambda }_{\max },$$

c'est-à-dire $n{\lambda }_{\min }⩽{\sum }_{i,j}{J}_n(i,j)x_i{x}_j⩽n{\lambda }_{\max }$. (C'est l'encadrement du quotient de Rayleigh appliqué au vecteur $X$, de norme $\sqrt{n}$.)

Q3. Soit $x\in {\Lambda }_n$ et $h\in {\mathbb{R}}_{+}$.