Corrigé Centrale 2025 Maths 2 MP — Partie A — IV (Q8 à Q12) : Modèle d'Ising unidimensionnel : matrices circulantes

Une lecture des matrices $C_{n,k}$.

Pour $k\in [[1,n]]$ et $i\in [[1,n]]$, notons ${\sigma }_k(i)$ l'unique élément de $[[1,n]]$ congru à $i-k$ modulo $n$. Si $i⩽k$, c'est $i-k+n\in [[n-k+1,n]]$ ; si $i⩾k+1$, c'est $i-k\in [[1,n-k]]$. La définition de l'énoncé s'écrit donc

$$C_{n,k}(i,j)=1⟺j={\sigma }_k(i)⟺j\equiv i-k(\mathrm{mod}n).$$

Chaque ligne de $C_{n,k}$ contient exactement un coefficient égal à $1$, en colonne ${\sigma }_k(i)$ ; par conséquent, pour tout vecteur $Y={}^t(y_1,\dots ,y_n)$, $(C_{n,k}Y{)}_i=y_{{\sigma }_k(i)}$. Pour $k=n$, ${\sigma }_n(i)=i$ et $C_{n,n}=I_n$.

Q8. D'après ce qui précède, $C_{n,1}(i,j)=1$ si et seulement si $j\equiv i-1(\mathrm{mod}n)$, et $C_{n,n-1}(i,j)=1$ si et seulement si $j\equiv i-(n-1)\equiv i+1(\mathrm{mod}n)$. Pour $n=9$ (et plus généralement $n⩾3$), $i-1\not\equiv i+1(\mathrm{mod}n)$, donc les deux matrices n'ont aucun coefficient non nul en commun et $J_9^{(1)}$ est à coefficients dans $\{0,1\}$ :

$$J_9^{(1)}(i,j)=1⟺j\equiv i\pm 1(\mathrm{mod}9).$$

Concrètement, le sommet $i$ est relié à $i-1$ et $i+1$ pour $2⩽i⩽8$, le sommet $1$ à $2$ et $9$, le sommet $9$ à $8$ et $1$. C'est exactement le graphe de la figure : les neuf sommets sont disposés sur un cercle dans l'ordre $1,2,\dots ,9$, et chacun est relié à ses deux voisins (les arêtes sont $\{1,2\},\{2,3\},\dots ,\{8,9\},\{9,1\}$). Le coefficient $(i,j)$ vaut $1$ si et seulement si $\{i,j\}$ est une arête : chaque particule interagit avec ses deux plus proches voisines, et le modèle est périodique (la particule $9$ est voisine de la particule $1$).