Corrigé Centrale 2025 Maths 2 MP — Partie A — V (Q13 à Q17) : Produit de Kronecker et modèle d'Ising bidimensionnel

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $A = (a_{ij}) \in M_{u, v} (R)$ et $B \in M_{r, s} (R)$ , le produit de Kronecker $A \otimes B \in M_{u r, v s} (R)$ est la matrice formée de $u \times v$ blocs de taille $r \times s$ , le bloc d'indice $(i, j)$ étant $a_{ij} B$ . On pose $N = n^{2}$ et $J_{N}^{(2)} = I_{n} \otimes J_{n}^{(1)} + J_{n}^{(1)} \otimes I_{n}$ , où $J_{n}^{(1)}$ est la matrice de la sous-partie IV, de valeurs propres $λ_{k} = 2 cos \frac{2 π k}{n}$ .

Q13. Montrer que $\otimes$ est bilinéaire de $M_{u, v} (R) \times M_{r, s} (R)$ dans $M_{u r, v s} (R)$ .
Q14. Montrer que $(A \otimes B) (A^{'} \otimes B^{'}) = (A A^{'}) \otimes (B B^{'})$ pour des formats compatibles ( $A^{'} \in M_{v, w}$ , $B^{'} \in M_{s, t}$ ).
Q15. Si $A \in M_{u} (R)$ et $B \in M_{r} (R)$ sont diagonalisables, montrer que $A \otimes B$ l'est et que $Sp (A \otimes B) = {λ μ ∣ λ \in Sp (A), μ \in Sp (B)}$ (on pourra d'abord inverser le produit de deux matrices inversibles).
Q16. Pour $n = 3$ , vérifier que $J_{9}^{(2)}$ est la matrice d'adjacence du graphe à neuf sommets de la figure du sujet.
Q17. Cas général : montrer que les valeurs propres de $J_{N}^{(2)}$ sont les $λ_{j} + λ_{k}$ , $(j, k) \in [[1, n]]^{2}$ .

Corrigé

Les coefficients de $A \otimes B$ .

Par division euclidienne, tout indice de ligne $L \in [[1, u r]]$ s'écrit de façon unique $L = (i - 1) r + p$ avec $i \in [[1, u]]$ et $p \in [[1, r]]$ (la ligne $p$ du bloc-ligne $i$ ) ; de même tout indice de colonne $C \in [[1, v s]]$ s'écrit $C = (j - 1) s + q$ , $j \in [[1, v]]$ , $q \in [[1, s]]$ . La définition dit alors

$(A \otimes B) ((i - 1) r + p, (j - 1) s + q) = a_{ij} b_{pq} .$

Q13. Soient $A_{1}, A_{2} \in M_{u, v} (R)$ , $B \in M_{r, s} (R)$ et $α \in R$ . Pour tous indices,

$((α A_{1} + A_{2}) \otimes B) ((i - 1) r + p, (j - 1) s + q) = (α a_{ij}^{(1)} + a_{ij}^{(2)}) b_{pq} = α a_{ij}^{(1)} b_{pq} + a_{ij}^{(2)} b_{pq},$

qui est le coefficient de même position de $α (A_{1} \otimes B) + A_{2} \otimes B$ . Donc $A \mapsto A \otimes B$ est linéaire. Le même calcul, avec $a_{ij} (α b_{pq}^{(1)} + b_{pq}^{(2)}) = α a_{ij} b_{pq}^{(1)} + a_{ij} b_{pq}^{(2)}$ , montre que $B \mapsto A \otimes B$ est linéaire pour $A$ fixée. L'application $\otimes : M_{u, v} (R) \times M_{r, s} (R) \to M_{u r, v s} (R)$ est donc bilinéaire.

Q14. La matrice $A \otimes B \in M_{u r, v s} (R)$ est découpée en $u \times v$ blocs de taille $r \times s$ , et $A^{'} \otimes B^{'} \in M_{v s, w t} (R)$ en $v \times w$ blocs de taille $s \times t$ . Le découpage des colonnes de la première ( $v$ tranches de $s$ colonnes) coïncide avec celui des lignes de la seconde ( $v$ tranches de $s$ lignes) : on peut appliquer le produit par blocs. Le bloc d'indice $(i, k) \in [[1, u]] \times [[1, w]]$ du produit, de taille $r \times t$ , vaut

$j = 1 \sum v (a_{ij} B) (a_{j k}^{'} B^{'}) = (j = 1 \sum v a_{ij} a_{j k}^{'}) B B^{'} = (A A^{'})_{ik} B B^{'} .$

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Corrigé Centrale 2025 Maths 2 MP — Partie A — V (Q13 à Q17) : Produit de Kronecker et modèle d'Ising bidimensionnel

Énoncé

Corrigé

Les coefficients de A⊗B.

Les coefficients de $A \otimes B$ .