Corrigé Centrale 2025 Maths 2 MP — Partie B — I et II (Q18 à Q24) : Matrice de transfert du modèle d'Ising et magnétisation

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Pour $h \in R_{+}$ , le $n$ -uplet $(X_{n, 1}, \dots, X_{n, n})$ prend la valeur $x \in Λ_{n}$ avec probabilité $\frac{1}{Z _{n} ( h )} e^{- H_{n} (h, x)}$ , où $Z_{n} (h) = \sum_{y \in Λ_{n}} e^{- H_{n} (h, y)}$ . On pose $M_{n, h} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{n, i}$ , $m_{n} (h) = E (M_{n, h})$ , $ψ_{n} (h) = \frac{1}{n} ln Z_{n} (h)$ , et $m$ , $ψ$ leurs limites simples. On admet que $ψ^{'} = m$ sur $R_{+}^{*}$ quand $ψ$ y est dérivable ; $m^{+} = lim_{h \to 0^{+}} m (h)$ . En II, $J_{n} = J_{n}^{(1)}$ (modèle d'Ising : pour $n ⩾ 3$ , $J_{n}^{(1)} (i, j) = 1$ si et seulement si $j \equiv i \pm 1$ modulo $n$ ), avec la convention $x_{n + 1} = x_{1}$ , $x_{0} = x_{n}$ , et $A$ est la matrice $2 \times 2$ de lignes $(e^{β - h}, e^{- β - h})$ et $(e^{- β + h}, e^{β + h})$ .

Q18. Montrer que $ψ_{n}$ est dérivable sur $R_{+}$ et $ψ_{n}^{'} = m_{n}$ .
Q19. Vérifier $Z_{n} (h) = \sum_{x \in Λ_{n}} \prod_{i = 1}^{n} e^{β x_{i} x_{i + 1} + h x_{i}}$ .
Q20. Pour $p, q ⩾ 2$ et $M \in M_{q} (R)$ , exprimer $M^{p} (i, j)$ comme somme sur $(k_{2}, \dots, k_{p}) \in [[1, q]]^{p - 1}$ de $M (i, k_{2}) \prod_{r = 2}^{p - 1} M (k_{r}, k_{r + 1}) M (k_{p}, j)$ .
Q21. Montrer que $Z_{n} (h) = tr (A^{n})$ .
Q22. Valeurs propres de $A$ .
Q23. Montrer que $ψ_{n} (h) \to ln (e^{β} ch h + e^{2 β} ch^{2} h - 2 sh (2 β))$ .
Q24. En déduire $m$ et montrer que $m^{+} = 0$ .

Corrigé

Q18. Pour $y \in Λ_{n}$ , notons $s (y) = \sum_{i = 1}^{n} y_{i}$ et $c (y) = \frac{β}{2} \sum_{i, j} J_{n} (i, j) y_{i} y_{j}$ , de sorte que $- H_{n} (h, y) = c (y) + h s (y)$ et

$Z_{n} (h) = y \in Λ_{n} \sum e^{c (y) + h s (y)} .$

C'est une somme finie ( $2^{n}$ termes) de fonctions $h \mapsto e^{c (y) + h s (y)}$ de classe $C^{\infty}$ sur $R$ (en particulier sur $R_{+}$ , avec dérivée à droite en $0$ ), strictement positives. Donc $Z_{n}$ est dérivable et à valeurs dans $R_{+}^{*}$ , et $ψ_{n} = \frac{1}{n} ln Z_{n}$ est dérivable sur $R_{+}$ par composition, avec

$ψ_{n}^{'} (h) = \frac{Z _{n}^{'} ( h )}{n Z _{n} ( h )} = y \in Λ_{n} \sum \frac{s ( y )}{n} \cdot \frac{e ^{- H_{n} (h, y)}}{Z _{n} ( h )} .$

Par linéarité de l'espérance puis formule de transfert appliquée au $n$ -uplet $(X_{n, 1}, \dots, X_{n, n})$ , à valeurs dans $Λ_{n}$ , et à la fonction $f : y \mapsto \frac{s ( y )}{n}$ :

$m_{n} (h) = E (f (X_{n, 1}, \dots, X_{n, n})) = y \in Λ_{n} \sum \frac{s ( y )}{n} P (X_{n, 1} = y_{1}, \dots, X_{n, n} = y_{n}) = y \in Λ_{n} \sum \frac{s ( y )}{n} \cdot \frac{e ^{- H_{n} (h, y)}}{Z _{n} ( h )} .$

Donc $ψ_{n}^{'} = m_{n}$ sur $R_{+}$ .

Q19. Calculons $J_{n}^{(1)} X$ pour $X =^{t} (x_{1}, \dots, x_{n})$ . D'après la sous-partie A-IV, $C_{n, 1}$ envoie $X$ sur le vecteur de coordonnées $x_{i - 1}$ (indice lu modulo $n$ ) et $C_{n, n - 1}$ sur celui de coordonnées $x_{i + 1}$ ; avec la convention $x_{0} = x_{n}$ , $x_{n + 1} = x_{1}$ :

$1 ⩽ i, j ⩽ n \sum J_{n}^{(1)} (i, j) x_{i} x_{j} = i = 1 \sum n x_{i} (J_{n}^{(1)} X)_{i} = i = 1 \sum n x_{i} x_{i - 1} + i = 1 \sum n x_{i} x_{i + 1} .$

Dans la première somme, on isole $i = 1$ (terme $x_{1} x_{0} = x_{n} x_{1}$ ) et on pose $i^{'} = i - 1$ pour les autres : $\sum_{i = 1}^{n} x_{i - 1} x_{i} = \sum_{i^{'} = 1}^{n - 1} x_{i^{'}} x_{i^{'} + 1} + x_{n} x_{n + 1} = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} x_{i + 1}$ . Ainsi

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