Corrigé Centrale 2025 Maths 2 MP — Partie B — III (Q25 à Q31) : Curie-Weiss : transformation gaussienne de la fonction de partition

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

On suppose $J_{n} = J_{n}^{(C)}$ (coefficients diagonaux nuls, les autres égaux à $\frac{1}{n}$ ), $h \in R_{+}$ , et l'on reprend $Z_{n} (h) = \sum_{x \in Λ_{n}} e^{- H_{n} (h, x)}$ . Pour $x \in Λ_{n}$ , $s_{n} (x) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ . On pose $G_{h} (x) = \frac{( x - h ) ^{2}}{2 β} - ln (2 ch x)$ pour $x \in R$ .

Q25. Vérifier $Z_{n} (h) = e^{- β /2} \sum_{x \in Λ_{n}} exp (\frac{β}{2 n} s_{n} (x)^{2} + h s_{n} (x))$ .
Q26. Montrer que $\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2} /2} d x$ converge (sa valeur $2 π$ est admise).
Q27. Montrer que $e^{a u^{2} /2} = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{u t - t^{2} / (2 a)} \frac{d t}{2 π a}$ pour $u \in R$ , $a > 0$ .
Q28. En déduire $Z_{n} (h) = \frac{n}{2 e ^{β} π β} \int_{- \infty}^{+ \infty} (\sum_{x \in Λ_{n}} e^{(t + h) s_{n} (x)}) e^{- n t^{2} / (2 β)} d t$ .
Q29. Montrer que $\sum_{x \in Λ_{n}} \prod_{i = 1}^{n} e^{(t + h) x_{i}} = (2 ch (t + h))^{n}$ .
Q30. Montrer que $Z_{n} (h) = \frac{n}{2 e ^{β} π β} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- n G_{h} (x)} d x$ .
Q31. Selon que $β ⩽ 1$ ou $β > 1$ , montrer que $G_{h}$ admet sur $R_{+}$ un minimum atteint en un unique point $u_{h}$ , puis : (a) si $β ⩽ 1$ et $h = 0$ , $u_{h} = 0$ ; (b) si $β > 1$ , $u_{h} > 0$ ; (c) pour tout $β > 0$ , (i) $G_{h}^{'} (u_{h}) = 0$ , (ii) $h = β G_{0}^{'} (u_{h})$ , (iii) $G_{h}^{''} (u_{h}) > 0$ si $h > 0$ .

Corrigé

Q25. Soit $x \in Λ_{n}$ . Comme $J_{n}^{(C)} (i, j) = \frac{1}{n}$ pour $i \neq = j$ et $0$ pour $i = j$ , et comme $x_{i}^{2} = 1$ :

$1 ⩽ i, j ⩽ n \sum J_{n}^{(C)} (i, j) x_{i} x_{j} = \frac{1}{n} i \neq = j \sum x_{i} x_{j} = \frac{1}{n} ((i = 1 \sum n x_{i})^{2} - i = 1 \sum n x_{i}^{2}) = \frac{s _{n} ( x ) ^{2}}{n} - 1.$

Donc $- H_{n} (h, x) = \frac{β}{2} (\frac{s _{n} ( x ) ^{2}}{n} - 1) + h s_{n} (x) = - \frac{β}{2} + \frac{β}{2 n} s_{n} (x)^{2} + h s_{n} (x)$ , et

$Z_{n} (h) = e^{- β /2} x \in Λ_{n} \sum exp (\frac{β}{2 n} (s_{n} (x))^{2} + h s_{n} (x)) .$

L'énergie ne dépend de la configuration qu'à travers l'aimantation totale $s_{n} (x)$ : c'est le propre du modèle « champ moyen » de Curie-Weiss.

Q26. La fonction $g : x \mapsto e^{- x^{2} /2}$ est continue, positive et paire sur $R$ . Par croissances comparées, $x^{2} g (x) \to 0$ quand $x \to + \infty$ , donc $g (x) = o (\frac{1}{x ^{2}})$ en $+ \infty$ . La fonction $x \mapsto \frac{1}{x ^{2}}$ est intégrable sur $[1, + \infty [$ (intégrale de Riemann, exposant $2 > 1$ ) ; par le critère de comparaison pour les fonctions positives, $g$ est intégrable sur $[1, + \infty [$ , donc sur $[0, + \infty [$ ( $g$ est continue sur le segment $[0, 1]$ ). Par parité, $g$ est intégrable sur $] - \infty, 0]$ , et $\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- x^{2} /2} d x$ converge (absolument).

Q27. Soient $u \in R$ et $a > 0$ . On complète le carré :

$u t - \frac{t ^{2}}{2 a} = - \frac{t ^{2} - 2 a u t}{2 a} = - \frac{( t - a u ) ^{2}}{2 a} + \frac{a ^{2} u ^{2}}{2 a} = - \frac{( t - a u ) ^{2}}{2 a} + \frac{a u ^{2}}{2} .$

L'application $x \mapsto t = a u + a x$ est une bijection de classe $C^{1}$ , strictement croissante, de $R$ sur $R$ , avec $d t = a d x$ et $\frac{( t - a u ) ^{2}}{2 a} = \frac{x ^{2}}{2}$ . Par le théorème de changement de variable (les deux intégrales sont de même nature, et la seconde converge par Q26) :

$\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{u t - \frac{t ^{2}}{2 a}} \frac{d t}{2 π a} = e^{\frac{a u ^{2}}{2}} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- \frac{x ^{2}}{2}} \frac{a d x}{2 π a} = e^{\frac{a u ^{2}}{2}} \cdot \frac{2 π}{2 π} = e^{\frac{a u ^{2}}{2}} .$

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