Corrigé Centrale 2025 Maths 2 MP — Partie B — III (Q32 à Q39) : Méthode de Laplace et magnétisation spontanée

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 2 MP. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Modèle de Curie-Weiss ; on suppose $h > 0$ . On reprend $G_{h} (x) = \frac{( x - h ) ^{2}}{2 β} - ln (2 ch x)$ , le point $u_{h}$ où $G_{h}$ atteint son minimum sur $R_{+}$ (Q31), et $Z_{n} (h) = \frac{n}{2 e ^{β} π β} \int_{R} e^{- n G_{h}}$ (Q30). On note $G_{h} (x) = G_{h} (x + u_{h}) - min G_{h}$ , $γ_{h} = G_{h}^{''} (u_{h})$ et $f_{h} (x) = \frac{G _{h} ( x )}{x ^{2}}$ .

Q32. Justifier que $G_{h}$ atteint son minimum sur $R$ en un unique point, qui est $u_{h}$ .
Q33. Montrer que $ψ_{n} (h) = - G_{h} (u_{h}) - \frac{1}{2 n} ln (2 e^{β} π β) + \frac{1}{n} ln (\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- n G_{h} (t / n)} d t)$ .
Q34. Montrer que $f_{h}$ se prolonge en une fonction continue sur $R$ en posant $f_{h} (0) = \frac{γ _{h}}{2}$ .
Q35. Justifier que $f_{h}$ est minorée par un réel $c_{h} > 0$ .
Q36. Montrer que $\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- n G_{h} (t / n)} d t \to \frac{2 π}{γ _{h}}$ , puis que $ψ (h) = - G_{h} (u_{h})$ .
Q37. Montrer que $G_{0}^{'}$ est une bijection continue de $[u_{0}, + \infty [$ sur $R_{+}$ ; en déduire que $u : h \mapsto u_{h}$ est continue sur $R_{+}$ et dérivable sur $R_{+}^{*}$ .
Q38. En déduire que $ψ$ est dérivable sur $R_{+}^{*}$ et que $m (h) = \frac{u ( h ) - h}{β}$ .
Q39. Montrer que $m^{+} = 0$ si $β ⩽ 1$ et $m^{+} > 0$ si $β > 1$ .

Corrigé

Q32. Soit $x < 0$ . Alors $- x > 0$ et

$G_{h} (x) - G_{h} (- x) = \frac{( x - h ) ^{2} - ( - x - h ) ^{2}}{2 β} - ln (2 ch x) + ln (2 ch (- x)) = \frac{- 4 x h}{2 β} = - \frac{2 x h}{β} > 0,$

puisque $ch$ est paire, $x < 0$ et $h > 0$ . Ainsi $G_{h} (x) > G_{h} (- x) ⩾ G_{h} (u_{h})$ , la dernière inégalité venant de Q31 ( $- x \in R_{+}$ ). Tout point de $] - \infty, 0 [$ donne donc une valeur strictement supérieure à $G_{h} (u_{h})$ , et sur $R_{+}$ le minimum n'est atteint qu'en $u_{h}$ (Q31) : $G_{h}$ atteint son minimum sur $R$ en l'unique point $u_{h}$ , et $min_{R} G_{h} = G_{h} (u_{h})$ .

Ce que le correcteur attend : l'hypothèse $h > 0$ est indispensable (pour $h = 0$ , $G_{0}$ est paire et, si $β > 1$ , son minimum sur $R$ est atteint en $\pm u_{0}$ ).

Q33. D'après Q30,

$ln Z_{n} (h) = \frac{1}{2} ln n - \frac{1}{2} ln (2 e^{β} π β) + ln \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- n G_{h} (x)} d x .$

Dans l'intégrale (convergente), effectuons le changement de variable affine $x = u_{h} + \frac{t}{n}$ , bijection $C^{1}$ strictement croissante de $R$ sur $R$ , avec $d x = \frac{d t}{n}$ . Par définition de $G_{h}$ et Q32, $G_{h} (u_{h} + \frac{t}{n}) = G_{h} (\frac{t}{n}) + G_{h} (u_{h})$ , donc

$\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- n G_{h} (x)} d x = \frac{e ^{- n G_{h} (u_{h})}}{n} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- n G_{h} (t / n)} d t .$

En reportant, les termes $\pm \frac{1}{2} ln n$ se compensent :

$ln Z_{n} (h) = - \frac{1}{2} ln (2 e^{β} π β) - n G_{h} (u_{h}) + ln \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- n G_{h} (t / n)} d t,$

et en divisant par $n$ :

$ψ_{n} (h) = - G_{h} (u_{h}) - \frac{1}{2 n} ln (2 e^{β} π β) + \frac{1}{n} ln (\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{- n G_{h} (t / n)} d t) .$

Q34. $f_{h}$ est continue sur $R^{*}$ comme quotient de fonctions continues. $G_{h}$ étant de classe $C^{2}$ , la formule de Taylor-Young à l'ordre $2$ en $u_{h}$ donne, avec $G_{h}^{'} (u_{h}) = 0$ (Q31 (c)(i)) :

$G_{h} (x) = G_{h} (u_{h} + x) - G_{h} (u_{h}) = G_{h}^{'} (u_{h}) x + \frac{G _{h}^{''} ( u _{h} )}{2} x^{2} + o (x^{2}) = \frac{γ _{h}}{2} x^{2} + o (x^{2}),$

quand $x \to 0$ . Donc $f_{h} (x) = \frac{γ _{h}}{2} + o (1) \to \frac{γ _{h}}{2}$ quand $x \to 0$ : en posant $f_{h} (0) = \frac{γ _{h}}{2}$ , on obtient une fonction continue sur $R$ .

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