Corrigé Centrale 2025 Maths 2 MP — Partie B — IV (Q40 à Q44) : Convergence en loi au point critique

Préliminaire.

$Z_{\infty }$ est bien défini et strictement positif : $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x^4/12}$ est continue, positive, non nulle, et $x^2{\mathrm{e}}^{-x^4/12}\to 0$ en $\pm \infty$, donc elle est $o(1/x^2)$ et intégrable sur $\mathbb{R}$ par comparaison à une intégrale de Riemann. De plus $0<{\phi }_{\infty }⩽\frac{1}{Z_{\infty }}$ et ${\int }_{\mathbb{R}}{\phi }_{\infty }=1$. On note $F(y)={\int }_{-\infty }^y{\phi }_{\infty }(u)\mathrm{d}u$.

Q40. La variable $M_n$ est finie : elle prend ses valeurs dans l'ensemble fini $M_n(\Omega )\subset \{\frac{s}{n},s\in [[-n,n]]\}$. Par la formule de transfert, pour tout $t\in \mathbb{R}$,

$$\Theta (t)=\mathbb{E}\left(f\right(\frac{t}{n^{1/4}}+n^{1/4}{M}_n\left)\right)=\sum _{y\in M_n(\Omega )}f(\frac{t}{n^{1/4}}+n^{1/4}y)\mathbb{P}(M_n=y).$$

C'est une somme finie de fonctions continues de $t$ ($f$ est continue) : $\Theta$ est continue sur $\mathbb{R}$. De plus $|\Theta (t)|⩽{\sum }_y\Vert f{\Vert }_{\infty }\mathbb{P}(M_n=y)=\Vert f{\Vert }_{\infty }$. La fonction $t\mapsto \Theta (t)\frac{{\mathrm{e}}^{-t^2/2}}{\sqrt{2\pi }}$ est donc continue sur $\mathbb{R}$ et dominée par $\Vert f{\Vert }_{\infty }\frac{{\mathrm{e}}^{-t^2/2}}{\sqrt{2\pi }}$, intégrable sur $\mathbb{R}$ (Q26) : elle est intégrable et $E_{n,f}$ est bien définie (intégrale absolument convergente).

Q41. L'inégalité. D'après Q26, ${\int }_{\mathbb{R}}{\mathrm{e}}^{-t^2/2}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{2\pi }}=1$, donc la constante $\mathbb{E}(f(n^{1/4}{M}_n))$ s'écrit ${\int }_{\mathbb{R}}\mathbb{E}(f(n^{1/4}{M}_n)){\mathrm{e}}^{-t^2/2}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{2\pi }}$ et, par linéarité de l'intégrale et de l'espérance,

$$E_{n,f}-\mathbb{E}(f(n^{1/4}{M}_n))={\int }_{-\infty }^{+\infty }\mathbb{E}\left(f\right(\frac{t}{n^{1/4}}+n^{1/4}{M}_n)-f(n^{1/4}{M}_n\left)\right){\mathrm{e}}^{-t^2/2}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{2\pi }}.$$