Corrigé Centrale 2025 Maths 2 PC — Partie A (Q1 à Q5) : Préliminaires : module de continuité d'une fonction périodique, translation d'une intégrale, opérateur de convolution

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 2 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$T_{n}$ désigne l'espace des polynômes trigonométriques $x \mapsto \sum_{k = - n}^{n} c_{k} e^{i k x}$ ( $c_{k} \in C$ ). $C_{2 π}^{0}$ (resp. $C_{2 π}^{1}$ ) est l'espace des fonctions continues (resp. de classe $C^{1}$ ) et $2 π$ -périodiques de $R$ dans $C$ . Pour $g \in C_{2 π}^{0}$ et $h > 0$ , on pose $ω_{g} (h) = sup_{∣ t - s ∣ ⩽ h} ∣ g (s) - g (t) ∣$ ; pour $f$ bornée, $∥ f ∥_{\infty} = sup_{R} ∣ f ∣$ .
Q1. Pour $g = sin$ , montrer que $ω_{g} (h) ⩽ h$ pour tout $h > 0$ .
Q2. (a) Montrer que $ω_{g} (h)$ est un réel bien défini pour $g \in C_{2 π}^{0}$ . (b) Pour $g \in C_{2 π}^{1}$ , montrer $ω_{g} (h) ⩽ h ∥ g^{'} ∥_{\infty}$ , puis $ω_{g} (h) \to 0$ quand $h \to 0$ . (On admet ensuite cette limite pour tout $g \in C_{2 π}^{0}$ .)
Q3. Soient $h, h^{'} > 0$ et $g \in C_{2 π}^{1}$ . (a) Si $h ⩽ h^{'}$ , montrer $ω_{g} (h) ⩽ ω_{g} (h^{'})$ . (b) Montrer $ω_{g} (h + h^{'}) ⩽ ω_{g} (h) + ω_{g} (h^{'})$ . (c) En déduire $ω_{g} (nh) ⩽ n ω_{g} (h)$ pour $n ⩾ 1$ et $ω_{g} (λh) ⩽ (1 + λ) ω_{g} (h)$ pour $λ > 0$ .
Q4. Pour $g \in C_{2 π}^{0}$ et $x \in R$ , montrer que $\int_{- π + x}^{π + x} g (t) d t = \int_{- π}^{π} g (t) d t$ .
Q5. Pour $g \in C_{2 π}^{0}$ et $p \in T_{n}$ , on pose $Δ (p) (x) = \int_{- π}^{π} p (x - t) g (t) d t$ . Montrer que $Δ$ est un endomorphisme de $T_{n}$ .

Corrigé

Q1. La fonction $sin$ est dérivable sur $R$ et $∣ sin^{'} ∣ = ∣ cos ∣ ⩽ 1$ . Par l'inégalité des accroissements finis, pour tous réels $s, t$ :

$∣ sin s - sin t ∣ ⩽ ∣ s - t ∣.$

(On peut aussi écrire $sin s - sin t = 2 sin \frac{s - t}{2} cos \frac{s + t}{2}$ et utiliser $∣ sin u ∣ ⩽ ∣ u ∣$ .) Si $∣ t - s ∣ ⩽ h$ , on a donc $∣ sin s - sin t ∣ ⩽ h$ : le réel $h$ majore l'ensemble dont $ω_{s i n} (h)$ est la borne supérieure, d'où $ω_{s i n} (h) ⩽ h$ .

Q2. (a) Soit $g \in C_{2 π}^{0}$ . La fonction $∣ g ∣$ est continue sur le segment $[0, 2 π]$ , donc bornée par un réel $M$ (théorème des bornes atteintes). Tout réel $u$ s'écrit $u = v + 2 k π$ avec $v \in [0, 2 π]$ et $k \in Z$ , et $g (u) = g (v)$ par périodicité : $∣ g ∣ ⩽ M$ sur $R$ tout entier. Ainsi, pour tous $s, t$ réels, $∣ g (s) - g (t) ∣ ⩽ ∣ g (s) ∣ + ∣ g (t) ∣ ⩽ 2 M$ .

Soit $h > 0$ . L'ensemble ${∣ g (s) - g (t) ∣; (s, t) \in R^{2}, ∣ t - s ∣ ⩽ h}$ est une partie de $R$ non vide (il contient $0$ , obtenu pour $s = t$ ) et majorée par $2 M$ : elle admet une borne supérieure, et $ω_{g} (h)$ est un réel de $[0, 2 M]$ .

Ce que le correcteur attend : c'est la périodicité qui ramène au segment $[0, 2 π]$ ; une fonction continue sur $R$ n'a aucune raison d'être bornée.

(b) Soit $g \in C_{2 π}^{1}$ . Sa dérivée $g^{'}$ est continue et $2 π$ -périodique (dériver $g (x + 2 π) = g (x)$ ), donc bornée d'après (a) : $∥ g^{'} ∥_{\infty}$ est un réel. Pour $s, t$ réels,

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