Corrigé Centrale 2025 Maths 2 PC — Partie B, sous-partie III (Q14 à Q16) : Approximation uniforme d'une fonction continue périodique par des polynômes trigonométriques

On fixe $g\in {\mathcal{C}}_{2\pi }^0$ et l'on reprend $J_n$ (réelle, positive, dans ${\mathcal{T}}_{2n}$, d'intégrale $1$ sur $[-\pi ,\pi ]$) et la constante $a$ de Q13. Pour $n\in \mathbb{N}$ et $x\in \mathbb{R}$, on pose $T_{n}g(x)={\int }_{-\pi }^{\pi }{J}_n(x-t)g(t)\mathrm{d}t$.
Q14. Montrer que $T_{n}g(x)={\int }_{-\pi }^{\pi }{J}_n(t)g(x-t)\mathrm{d}t$ et $g(x)={\int }_{-\pi }^{\pi }{J}_n(t)g(x)\mathrm{d}t$, puis que $|T_{n}g(x)-g(x)|⩽{\int }_{-\pi }^{\pi }{J}_n(t)|g(x-t)-g(x)|\mathrm{d}t$.
Q15. On suppose ici $g$ de classe ${\mathcal{C}}^1$. (a) Montrer que $\Vert T_{n}g-g{\Vert }_{\infty }⩽\frac{a\Vert g^{\prime }{\Vert }_{\infty }}{n+1}$. (b) Conclure que $(T_{n}g)$ est une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers $g$ sur $\mathbb{R}$.
Q16. Cas général ($g$ seulement continue ; on utilise ${\omega }_g(h)\to 0$ quand $h\to 0$). (a) Montrer que $|g(x-t)-g(x)|⩽(1+n|t|){\omega }_g(1/n)$ pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ et $t,x$ réels. (b) En déduire $b>0$ tel que $\Vert T_{n}g-g{\Vert }_{\infty }⩽b{\omega }_g(1/n)$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. (c) Conclure que $(T_{n}g)$ converge uniformément vers $g$ sur $\mathbb{R}$.