Corrigé Centrale 2025 Maths 2 PC — Partie B, sous-parties I et II (Q6 à Q13) : Le noyau Jn : polynôme trigonométrique positif, majoration de l'intégrale de |t|Jn(t)

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 2 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

Notations de la partie A ( $T_{n}$ , $e_{k} : x \mapsto e^{i k x}$ ). Pour $n \in N$ et $t \in R$ , on pose $φ_{n} (t) = e^{- i n t /2} \sum_{k = 0}^{n} e^{i k t}$ et $f_{n} (t) = φ_{n} (t)^{4}$ .
Q6. Pour $t \in / 2 π Z$ , montrer que $φ_{n} (t) = \frac{sin (( n + 1 ) t /2 )}{sin ( t /2 )}$ et en déduire $f_{n} (t)$ .
Q7. Montrer que $φ_{n}$ et $φ_{n}^{2}$ appartiennent à $T_{n}$ , puis que $f_{n} \in T_{2 n}$ .
Q8. Montrer qu'il existe $c_{n} > 0$ tel que $\int_{- π}^{π} c_{n} f_{n} (t) d t = 1$ .
On pose $J_{n} = c_{n} f_{n}$ : fonction réelle positive, $J_{n} \in T_{2 n}$ , d'intégrale $1$ sur $[- π, π]$ .
Q9. Montrer que $\int_{- π}^{π} ∣ t ∣ J_{n} (t) d t = \int_{0}^{π} t f_{n} (t) d t / \int_{0}^{π} f_{n} (t) d t$ .
Q10. Montrer que $\frac{2}{π} t ⩽ sin t ⩽ t$ pour $t \in [0, π /2]$ .
Q11. En déduire $\int_{0}^{π} t f_{n} (t) d t ⩽ π^{4} (\frac{n + 1}{2})^{2} \int_{0}^{(n + 1) π /2} \frac{s i n ^{4} u}{u ^{3}} d u$ .
Q12. En déduire aussi $\int_{0}^{π} f_{n} (t) d t ⩾ 2 (n + 1)^{3} \int_{0}^{(n + 1) π /2} \frac{s i n ^{4} u}{u ^{4}} d u$ .
Q13. Montrer qu'il existe $a > 0$ tel que $\int_{- π}^{π} ∣ t ∣ J_{n} (t) d t ⩽ \frac{a}{n + 1}$ pour tout $n \in N$ .

Corrigé

Q6. Soit $t \in / 2 π Z$ : alors $e^{i t} \neq = 1$ et la somme géométrique de raison $e^{i t}$ vaut

$k = 0 \sum n e^{i k t} = \frac{e ^{i (n + 1) t} - 1}{e ^{i t} - 1} .$

Par la technique de l'angle moitié, $e^{i θ} - 1 = e^{i θ /2} (e^{i θ /2} - e^{- i θ /2}) = 2 i e^{i θ /2} sin \frac{θ}{2}$ , appliquée à $θ = (n + 1) t$ et à $θ = t$ ( $sin \frac{t}{2} \neq = 0$ car $\frac{t}{2} \in / π Z$ ) :

$k = 0 \sum n e^{i k t} = \frac{2 i e ^{i (n + 1) t /2} sin \frac{( n + 1 ) t}{2}}{2 i e ^{i t /2} sin \frac{t}{2}} = e^{i n t /2} \frac{sin \frac{( n + 1 ) t}{2}}{sin \frac{t}{2}} .$

En multipliant par $e^{- i n t /2}$ : $φ_{n} (t) = \frac{sin (( n + 1 ) t /2 )}{sin ( t /2 )}$ , puis $f_{n} (t) = φ_{n} (t)^{4} = (\frac{sin (( n + 1 ) t /2 )}{sin ( t /2 )})^{4}$ .

Q7. Le cas de $φ_{n}$ . On a $φ_{n} (t) = \sum_{k = 0}^{n} e^{i (k - n /2) t}$ : les « fréquences » $k - \frac{n}{2}$ décrivent ${- \frac{n}{2}, \dots, \frac{n}{2}}$ .

Si $n = 2 m$ est pair, ce sont les entiers de $- m$ à $m$ : $φ_{n} = \sum_{j = - m}^{m} e_{j} \in T_{m} \subset T_{n}$ .
Si $n$ est impair, $φ_{n} (t + 2 π) = e^{- i nπ} φ_{n} (t) = - φ_{n} (t)$ ; comme $φ_{n} (0) = n + 1 \neq = 0$ , $φ_{n}$ n'est pas $2 π$ -périodique, alors que tout élément de $T_{n}$ l'est : $φ_{n} \in / T_{n}$ .

L'énoncé est donc inexact pour $φ_{n}$ quand $n$ est impair (le rapport du jury le reconnaît) ; seul $φ_{n}^{2}$ sert dans la suite.

Le cas de $φ_{n}^{2}$ . En développant le produit de deux sommes finies,

$φ_{n} (t)^{2} = e^{- i n t} k = 0 \sum n l = 0 \sum n e^{i (k + l) t} = m = 0 \sum 2 n N_{m} e^{i (m - n) t},$

où $N_{m}$ est le nombre de couples $(k, l) \in {0, \dots, n}^{2}$ tels que $k + l = m$ , soit $N_{m} = n + 1 - ∣ m - n ∣$ . Avec $j = m - n$ :

$φ_{n}^{2} = j = - n \sum n (n + 1 - ∣ j ∣) e_{j} \in T_{n} .$

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