Corrigé Centrale 2025 Maths 2 PC — Partie C, sous-partie I (Q17 à Q21) : Racines de X^n+1, décomposition en éléments simples et formule d'interpolation pour XP'

Sujet officiel du concours Centrale, session 2025, épreuve Maths 2 PC. Corrigé rédigé par Ibrahim Alame.

Énoncé

$C_{n} [X]$ désigne l'espace des polynômes complexes de degré au plus $n$ . On fixe $n \in N^{*}$ et l'on pose $T = X^{n} + 1$ .
Q17. Montrer que $T$ admet $n$ racines simples dans $C$ , notées $z_{1}, \dots, z_{n}$ .
Q18. Pour $k \in {1, \dots, n}$ , montrer que $\prod_{j \neq = k} (z_{k} - z_{j}) = T^{'} (z_{k})$ .
Pour $ℓ \in {0, \dots, n}$ , soit $F = \frac{X ^{ℓ}}{X ^{n} + 1}$ , dont la décomposition en éléments simples s'écrit $F = \sum_{k = 1}^{n} \frac{μ _{k}}{X - z _{k}} + E$ avec $μ_{k} \in C$ et $E \in C [X]$ .
Q19. Montrer que $μ_{k} = - \frac{z _{k}^{ℓ + 1}}{n}$ et que $E$ est nul ou constant égal à $1$ .
Q20. Calculer $F^{'} (1)$ et en déduire que $ℓ = \frac{n}{2} + \frac{2}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{z _{k}^{ℓ + 1}}{( z _{k} - 1 ) ^{2}}$ .
Q21. En déduire : (a) pour tout $P \in C_{n} [X]$ , $X P^{'} (X) = \frac{n}{2} P (X) + \frac{2}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{z _{k} P ( z _{k} X )}{( z _{k} - 1 ) ^{2}}$ ; (b) $\sum_{k = 1}^{n} \frac{z _{k}}{( z _{k} - 1 ) ^{2}} = - \frac{n ^{2}}{4}$ .

Corrigé

Q17. Par le théorème de d'Alembert-Gauss, $T$ , de degré $n ⩾ 1$ , est scindé sur $C$ : il admet $n$ racines comptées avec multiplicité. Une racine $z$ de $T$ est multiple si et seulement si $T (z) = T^{'} (z) = 0$ . Or $T^{'} = n X^{n - 1}$ ne s'annule qu'en $0$ (pour $n ⩾ 2$ ; il ne s'annule pas du tout si $n = 1$ ), et $T (0) = 1 \neq = 0$ . Aucune racine de $T$ n'est racine de $T^{'}$ : toutes sont simples, et $T$ possède exactement $n$ racines distinctes $z_{1}, \dots, z_{n}$ .

Notons dès maintenant que $z_{k}^{n} = - 1$ , donc $∣ z_{k} ∣^{n} = 1$ et $∣ z_{k} ∣ = 1$ ; et $z_{k} \neq = 1$ puisque $T (1) = 2$ .

Ce que le correcteur attend : le critère « racine multiple $\Leftrightarrow$ racine commune à $T$ et $T^{'}$ » ; les racines ne sont pas les racines $n$ -ièmes de l'unité (ce sont celles de $- 1$ ).

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