Corrigé Centrale 2025 Maths 2 PC — Partie C, sous-partie II (Q22 à Q25) : Norme sur le cercle unité et inégalité de Bernstein pour les polynômes trigonométriques

Notons $\mathbb{U}=\{z\in \mathbb{C};|z|=1\}$ le cercle unité.

Q22. $\Vert P\Vert$ est un réel positif. La partie $\mathbb{U}$ de $\mathbb{C}$ (espace de dimension finie sur $\mathbb{R}$) est non vide, bornée, et fermée comme image réciproque du fermé $\{1\}$ par le module, continu. La fonction $z\mapsto |P(z)|$ est continue (polynomiale en les parties réelle et imaginaire de $z$). Par le théorème des bornes atteintes, elle est bornée sur $\mathbb{U}$ : $\Vert P\Vert$ est un réel, positif comme borne supérieure de réels positifs.

Séparation. Si $\Vert P\Vert =0$, alors $P(z)=0$ pour tout $z\in \mathbb{U}$ : $P$ admet une infinité de racines, donc $P=0$.

Homogénéité. Pour $\lambda \in \mathbb{C}$, $|\lambda P(z)|=|\lambda ||P(z)|$ pour tout $z\in \mathbb{U}$ ; la borne supérieure d'un ensemble de réels positifs multiplié par $|\lambda |⩾0$ est multipliée par $|\lambda |$ : $\Vert \lambda P\Vert =|\lambda |\Vert P\Vert$.