Corrigé Centrale 2025 Maths 2 PC — Partie D, sous-partie I (Q26 à Q30) : Exemples de fonctions höldériennes : x puissance alpha et x ln x

Q26. Minoration. La fonction $h_{\alpha }$ est croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$ ($\alpha >0$) : $x⩾y$ donne $x^{\alpha }⩾y^{\alpha }$.

Majoration. Si $y=0$, c'est l'égalité $x^{\alpha }=x^{\alpha }$. Supposons $y>0$ et posons, pour $x⩾y$, $\psi (x)=(x-y{)}^{\alpha }-x^{\alpha }+y^{\alpha }$. La fonction $\psi$ est continue sur $[y,+\infty [$, dérivable sur $]y,+\infty [$, avec $\psi (y)=0$ et

$${\psi }^{\prime }(x)=\alpha ((x-y{)}^{\alpha -1}-x^{\alpha -1})>0(x>y),$$

car $0<x-y<x$ et $t\mapsto t^{\alpha -1}$ est strictement décroissante sur $]0,+\infty [$ ($\alpha -1<0$). Donc $\psi$ est croissante sur $[y,+\infty [$ et $\psi (x)⩾\psi (y)=0$, soit $x^{\alpha }-y^{\alpha }⩽(x-y{)}^{\alpha }$.

Q27. Soient $x,y\in {\mathbb{R}}_{+}$ ; quitte à les échanger, $x⩾y$. Par Q26, $|h_{\alpha }(x)-h_{\alpha }(y)|=x^{\alpha }-y^{\alpha }⩽(x-y{)}^{\alpha }=|x-y{|}^{\alpha }$. La définition est satisfaite avec $K=1$ : $h_{\alpha }$ est $\alpha$-höldérienne sur ${\mathbb{R}}_{+}$.